El día 23 de agosto el grupo GIMPS recibió el aviso del descubrimiento de un nuevo primo de Mersenne, número que todavía no han hecho público. Los primos de Mersenne (como ya vimos en posible descubrimiento del 44) son los números primos de la forma 
, con 
un número primo. El mayor conocido hasta ahora es precisamente el número 44:
Éste rozó los 10 millones de cifras (concretamente 9808358), y se esperaba que el próximo en ser encontrado las superara. Pues tendremos que esperar unos días, al parecer unas dos semanas, para 1) que se verifique que el número encontrado es primo; y 2) en ese caso saber el número de cifras.
En God Plays Dice, sitio donde he visto la noticia, han publicado su predicción sobre el número de cifras y, aunque está ciertamente fundamentada, a mí me parece muy grande. Paso a explicarla:
Según la enciclopedia de las sucesiones, el número de primos de Mersenne hasta el de exponente 
es aproximadamente 
, para cierta constante 
.
En el caso de primo de Mersenne número 44, 
. Despejando obtenemos 
. Utilizando ese valor de para el primo de Mersenne número 45 obtendríamos que tiene ¡¡14,5 millones de cifras!!.
Lo que he dicho antes, me parece demasiado.
De todas formas habrá que estar atentos a las noticias sobre el tema en los próximos días.
El descubrimiento de un fragmento de las matemáticas que cuadra con el mundo de una forma nueva es un raro acontecimiento.
Ted Bastin
INFINITUM. Citas matemáticas
Si el LHC ayuda a comprobar la relación entre 
y una teoría unificadora del universo tendremos otro raro acontecimiento (probablemente el más raro) de los que nos habla Bastin.
Como sabéis el mes pasado convoqué un concurso para la creación de un logo para Gaussianos. El plazo que di fue hasta el 15 de agosto, es decir, el viernes pasado. Durante este tiempo he recibido varias propuestas, diez concretamente. Os dejo la lista de las personas que han colaborado:
Alpoma
bluff
Sergio
Merfat
Alpha
Piponauta
Jesús
Bootiz
Ever Salazar
Kaito
Algunas de ellas han sido sencillas y otras muy elaboradas. De hecho son varias las que me han gustado. Pero como en todo concurso debe haber un ganador, y en este caso ha sido…
Su propuesta ha sido la siguiente:
Banner principal
El primer banner tenía el fondo gris y las letras en blanco, pero al final se modificó para que quedara así.
Favicon
En principio la idea es colocar el logo sin el subtítulo de la izquierda. Y ahí es donde volvéis a entrar vosotros. En estos momentos hay tres propuestas para el logo (con texto plano, sombreado y con relieve) y me gustaría que me ayudarais a decidir. Por eso os dejo una encuesta, para que me digáis cuál os gusta más. Aquí os dejo los logos:
Texto plano
Texto sombreado
Texto con relieve
Y aquí la encuesta:
De todas formas quiero comentar que el logo no es 100% definitivo. Podría ser que sufriera alguna modificación o alguna mejora con el tiempo. Os mantendré informados si hay alguna novedad.
Por otra parte, como ya comenté en el post sobre el concurso en principio no tenía pensado ofrecer ningún premio. Aunque puede que cambie de idea. Tengo algo en mente que ni siquiera el ganador sabe. También comentaré algo sobre ello más adelante.
Y para terminar simplemente agradecer a todos los participantes el interés que han mostrado con el tema y el tiempo que han invertido en ello. Siempre respondéis a mis propuestas, y eso es de agradecer. Muchísimas gracias.
Hay una inevitable tristeza en el hecho de haber resuelto el último teorema (de Fermat). Los que se dedican a la teoría de números, en lo más profundo, lo sienten así. Para muchos de nosotros fue la resolución de este problema lo que nos atrajo a las matemáticas, y siempre lo consideramos como un sueño, pero nunca como algo que conseguiríamos. Hoy sentimos que hemos perdido algo.
Andrew Wiles
INFINITUM. Citas matemáticas
Es como la típica historia del policía que persigue al ladrón, terrorista, traficante…poned el delincuente que queráis. Después de media vida persiguiéndolo cuando consigue capturarlo siente un gran vacío. Parece que el perseguidor de alguna manera necesita no alcanzar el objetivo perseguido para que así su vida siga teniendo sentido.
Cuarto problema de la Olimpiada Internacional de Matemáticas de 2008:
Hallar todas las funciones 
(es decir, las funciones 
de los números reales positivos en los números reales positivos) tales que
para todos los números reales 
que satisfacen 
.
El teorema de Pick es un resultado geométrico cuanto menos curioso, si no sorprendente. Nos permite calcular de forma muy sencilla el área de un polígono que cumpla ciertas condiciones. Se debe al matemático austriaco Georg Alexander Pick que lo demostró en 1899.
Vamos con el enunciado del teorema:
Teorema: Supongamos que tenemos una cuadrícula en la que cada vértice corresponde a un punto del plano cuyas coordenadas son números enteros y sea 
un polígono simple (es decir, sin agujeros) que cumple que todos sus vértices están situados sobre vértices de la cuadrícula. Es decir, algo así:
Sea 
el número de vértices de la cuadrícula que quedan dentro del polígono y sea el número de vértices de la cuadrícula que están en algún lado del polígono, es decir, los puntos frontera que tienen sus dos coordenadas enteras. Entonces el área del polígono puede calcularse de la siguiente forma:
En el ejemplo que aparece en la imagen, 
y 
. Por tanto 
(unidades cuadradas).
Demostración:
Vamos a demostrar este resultado por inducción:
Sea un polígono simple y 
un triángulo con un lado común con . Asumimos que el teorema es cierto para y para de forma separada y demostremos que también es cierto para el polígono 
conseguido a partir de añadiendo . Como y comparten un lado, todos los puntos frontera a lo largo del lado común, excepto los puntos extremos del lado, se convierten en puntos interiores de . Por tanto, llamando 
al número de puntos frontera en común, tenemos que 
y 
. De ello obtenemos que 
y 
.
Como asumimos que el teorema es cierto para y de forma separada:
Por tanto, el polígono 
cumple el teorema.
Se sabe que en dos dimensiones cualquier polígono puede ser triangulado. Por tanto, lo que hemos obtenido es que si el teorema es cierto para un triángulo y para un polígono formado por triángulos también lo es para un polígono formado por 
triángulos.
El último paso de la demostración es comprobar que el resultado es cierto para cualquier triángulo. Veámoslo:
Es fácil ver que el teorema se cumple para cualquier cuadrado de lado 1 (¿de verdad es fácil?). De aquí se deduce que es correcto para cualquier rectángulo con sus lados paralelos a los ejes. A partir de ésto deducimos que la fórmula es cierta para triángulos rectángulos obtenidos a partir de un rectángulo mediante un corte por una de sus diagonales.
Ahora, cualquier triángulo puede convertirse en un rectángulo añadiendo como mucho tres triángulos rectángulos. Como la fórmula es correcta para los triángulos rectángulos y para el rectángulo también lo es para cualquier triángulo.
Con esto concluye la inducción.
Hemos comentando anteriormente que el teorema es válido para polígonos simples, es decir, sin agujeros. Hay una generalización para cualquier polígono en la cual el 
de la fórmula se sustituye por 
, es decir, la característica de Euler de .
Por otra parte, una superficie llamada el tetraedro de Reeve (de la cual no he encontrado información) demuestra que el teorema de Pick no se puede generalizar a tres dimensiones. Sin embargo, para dimensiones superiores sí hay una generalización vía polinomios de Ehrhart.
Fuente:
Omalaled, autor del muy recomendable blog Historias de la Ciencia, se ha animado a sacar un libro cuya temática es la misma que la de su blog.
Hace poco más de un mes nos lo presentaba en este post. Según sus propias palabras:
Se trata de una recopilación revisada de los primeros artículos, aunque incluyendo también modernos, de este blog. Algunos de ellos están igual, tal como se escribieron en su momento, otros los he variado o ampliado y he añadido unas pocas historias inéditas. Algún aliciente tenía que darle, ¿no?
Al parecer de momento sólo puede adquirirse en lulu. Os invito a que os animéis a comprarlo, yo espero hacerlo pronto.
Recordad que no es el único blogger científico que ha sacado un libro. Juán Luis ya lo hizo hace un tiempo, y parece que le cogió el gustillo al asunto.
Hazlo simple, tan simple como sea posible, pero no más.
Albert Einstein
INFINITUM. Citas matemáticas
Ese era uno de los objetivos de Gaussianos. ¿Se ha conseguido?
Tercer problema de la Olimpiada Internacional de Matemáticas de 2008:
Demostrar que existen infinitos números enteros positivos tales que 
tiene un divisor primo mayor que 
.
enteros positivos tales que 
es par. Se tienen 
lámparas numeradas 
cada una de las cuales puede estar encendida o apagada. Inicialmente todas las lámparas están apagadas. Se consideran sucesiones de pasos: en cada paso se selecciona exactamente una lámpara y se cambia su estado (si está apagada se enciende, si está encendida se apaga).
quedan todas encendidas y las lámparas 
quedan todas apagadas.
el número de sucesiones de 
.