Algunas lecciones de lógica para el día a día

La Lógica, en su estudio formal, no es fácil, dada la enorme cantidad de reglas que pueden derivarse de los axiomas iniciales y lo intrincado de la estructura que se forma con todos ellos. Hasta definir qué es la Logíca es complicado. Pero es necesaria en nuestras vidas. Es fundamental que nuestros argumentos tengan coherencia lógica si nuestro objetivo es el entendimiento con nuestros semejantes. Por ello quizás no nos venga mal recordar algunas reglas básicas que en muchas ocasiones no aplicamos correctamente (o simplemente no aplicamos) en nuestro día a día.

Para ello es muy importante algo que ya he dicho, y que repito a continuación:

Es fundamental que nuestros argumentos tengan coherencia lógica si nuestro objetivo es el entendimiento con nuestros semejantes.

Si nuestro objetivo es conseguir nuestro propio beneficio saltándonos la coherencia lógica seguro que no nos entenderemos.

¿Por qué este post ahora? Muy sencillo. En los últimos tiempos he tenido un par de conversaciones a través de internet en las que mis interlocutores han cometido falacias lógicas en sus razonamientos, por lo que sus argumentos han caído por su propio peso. Pero el problema principal no ha sido el hecho de cometer dichas falacias, sino que después de explicárselo no han comprendido que lo son. Por ello voy a intentar hacerlo aquí.

El recíproco no tiene por qué ser cierto

Si tenemos dos proposiciones, p, q, y consideramos la implicación p \rightarrow q (p implica a q, o también leído si p entonces q), entonces el recíproco de dicha implicación es la implicación q \rightarrow p.

Bien, dicho esto vamos con el tema. El hecho de que p \rightarrow q sea cierta no asegura que también lo sea q \to p. Quizás para algunos esto sea un trabalenguas, pero seguro que se aclaran con un ejemplo sencillo. Supongamos que la proposición p es “hacer frío” y la proposición q es “ponerse una chaqueta”. Y supongamos que para nosotros es cierta la implicación p \to q, es decir, para nosotros es cierto que

Si hace frío entonces me pondré una chaqueta. (1)

Repito, para nosotros es siempre cierto que cuando hace frío nos pondremos una chaqueta. ¿Cuál sería la implicación q \to p en este caso? Pues

Si me pongo una chaqueta entonces hace frío. (2)

Partiendo de que (1) es cierta en todos los casos, ¿podemos afirmar con total rotundidad que (2) también es cierta? Pensadlo un poco y os daréis cuenta de que no, no podemos afirmar con total rotundidad que la segunda frase sea cierta partiendo de la certeza de la primera, ya que podría darse el caso de que me pusiera una chaqueta sin hacer frío, y eso no chocaría en ningún momento con la veracidad de (1), porque (1) no dice nada (al menos directamente) sobre qué haría yo si no hace frío.

Cierto es que es posible que si no hace frío yo nunca me ponga la chaqueta, por lo que (2) también sería cierta (pero seguro que muchos de vosotros os habéis puesto una chaqueta sin que haga frío por moda o por precaución, por ejemplo). El caso es que sin esa información desde el comienzo no podemos afirmar la veracidad absoluta de la segunda frase.

Hay muchos ejemplos más interesantes sobre esto, y seguro que mucho más confusos que el que yo he puesto y por tanto más útiles para ver que hay gente que no tiene clara la utilización de esta propiedad. Si se os ocurre alguno comentadlo.

El contrarrecíproco siempre es cierto

En la misma situación anterior, p, q dos proposiciones y p \to q la implicación si p entonces q, podemos definir la negación de p, que escribiremos como \neg p (y que se leería no p). Con ella ya podemos definir el contrarrecíproco de p \to q, que será (los paréntesis no son necesarios, pero quizás con ellos se evite confundir símbolos) (\neg q) \to (\neg p), y que se leería si no q entonces no p.

Después de las bases comentamos la regla: el contrarrecíproco siempre es cierto. Sí, siempre. Repito, siempre. Veámoslo con el ejemplo anterior. Teníamos la frase inicial:

Si hace frío entonces me pondré una chaqueta. (1)

¿Cuál será el contrarrecíproco ahora? Pues éste:

Si no me he puesto una chaqueta entonces no hace frío. (3)

Partiendo de que (1) es cierta siempre, ¿podemos afirmar que (3) también es cierta o habrá algún caso en el que no lo sea? Pues, como he dicho antes, el contrarrecíproco siempre es cierto, por lo que podemos afirmar que (3) es siempre cierta partiendo de la veracidad de (1). En los términos de la propia frase, si no me he puesto la chaqueta es evidente que no hace frío, ya que si hiciera frío la llevaría puesta (recordad que partimos de que (1) es cierta siempre).

El problema que me he encontrado en alguna ocasión es que hay gente que confunde el recíproco con el contrarrecíproco, asegurando que el primer siempre es cierto y el segundo solamente a veces, cuando en realidad es al contrario, como acabamos de ver.

Digo lo mismo que antes, si tenéis por ahí algún ejemplo mejor que el mío comentadlo para que lo veamos todos.

Si eliminamos una hipótesis puede seguir cumpliéndose la tesis, aunque no siempre es así

Partiendo de que las “hipótesis” son las condiciones iniciales y la “tesis” el resultado al que llegamos, vamos a comentar esta cuestión. Supongamos que bajo ciertas hipótesis p_1, \ldots , p_n se cumple una tesis q. ¿Qué ocurre si eliminamos algún p_i? ¿Se seguirá cumpliendo q o no? Pues ni una cosa ni otra, si eliminamos una de las hipótesis, en general no podemos afirmar si la tesis se sigue cumpliendo o no se cumple, habrá casos en los que se siga verificando y casos en los que no.

Os pongo un ejemplo. Consideremos la siguiente frase:

Si un número entero positivo n es mayor que 10, impar y divisible solamente entre 1 y el propio número, entonces ese número n es primo.

Está claro que esta frase es cierta, ¿verdad? Bien. En este caso las hipótesis son:

  • p_1= n es entero positivo
  • p_2= n es mayor que 10
  • p_3= n es impar
  • p_4= n es disivible solamente entre 1 y él mismo

Y la tesis es que n es un número primo.

Si eliminamos una hipótesis, ¿qué ocurre con la tesis? Pues, como hemos dicho antes, depende de qué hipótesis eliminemos. Si, por ejemplo, eliminamos p_4 entonces la tesis no se verifica siempre, ya que 15 (por decir uno, hay muchísimos más) cumple el resto de hipótesis (entero positivo, impar y mayor que 10) pero no es primo. Sin embargo, si eliminamos p_3 la tesis sí se sigue cumpliendo, ya que todo número entero positivo mayor que 10 y divisible únicamente entre 1 y él mismo resulta ser primo (digamos que el hecho de que sea impar está implícito en el conjunto del resto de hipótesis, pero eso en principio no tenemos por qué saberlo).

Comento esta regla porque me he encontrado a gente que piensa que si de una expresión del tipo anterior eliminamos una hipótesis siempre ocurre que la tesis deja de cumplirse, pero en general no es así. Espero que haya quedado claro con este ejemplo. Y, como antes, si se os ocurre algún otro que sea mejor que éste no tenéis más que comentarlo.


Repito que este post es solamente un comentario de algunas reglas lógicas que no han usado o han usado mal algunos interlocutores con los que me he encontrado en los últimos tiempos, no pretende ser una enumeración exhaustiva de reglas lógicas que usamos a diario, ni mucho menos. Por ello seguro que se os ocurren otras reglas que no se usan correctamente y que no sean las que hemos visto aquí. Los comentarios son vuestros.


Imagen tomada de este post de El Cedazo sobre la implicación que merece la pena leer.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

54 Comentarios

  1. El ejemplo que he visto tanto en filosofía como en matemáticas de la implicación directa es:

    Si llueve, la calle se moja. (p \rightarrow q)

    Pero no es cierto que:

    Si la calle está mojada, ha llovido. (q \rightarrow p)

    Puesto que la calle se puede mojar por otros motivos 😉

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    • Tú estás poniendo condiciones (la calle sólo puede ser mojada si llueve)que llevan la que la expresión lógica sea un bicondicional donde ambas implicaciomes son ciertas, es decir, p es equivalente a q y viceversa. No es el caso que tratan aquí.

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  2. No puedo estar más de acuerdo con el post. De hecho es algo que siempre he tenido en mente, que me ocurre casi a diario y que es de lo más frustrante no ser capaz de hacer entender a los demás el error que cometen.

    Aunque no es exactamente lo mismo, puedo poner un ejemplo de algo que siempre me ha llamado la atención.

    Se escucha habitualmente en las noticias cosas como: “El año pasado el 40% de los conductores que murieron en un accidente de coche habían bebido alcohol”
    Repito que este ejemplo no es exactamente lo mismo que propone el post, porque es más una cuestión de estadística, pero servirá.

    Bien, ¿cuál es el mensaje que nos dan en las noticias? Si bebes te matas!!
    Analizalo un momento:
    – ¿el 40% es un número elevado o reducido?
    – tras gastar miles de millones en seguridad y controles de alcoholemia, ¿que deberíamos esperar con esa cifra? ¿un 20% por ejemplo? ¿o un 60%? Es decir, la acción de mejorar estaría en la línea de reducir el porcentaje o en un aumentarlo?
    – ¿Sería bueno que en las noticias dijeran que el mes pasado, de los conductores que murieronel 100% habían bebido? ¿o sería mejor el 0%?

    Lo cierto es que la TV pretende transmitir un mensaje válido “beber es malo para conducir”. El problema es que habitualmente se establecen razonamientos erróneos y dicen que si tienes un accidente te puedes morir con un 40% de probailidad si has bebido, o si bebes y conduces tienes un 40% de probabilidad de morir…
    De las estadísticas anteriores sólo se puede deducir que “el 40% de los que murieron habían bebido”.
    La muestra sólo se realizó entre los que tuvieron un accidente y murieron. Deberían realizar la muestra entre todos los conductores, a ver que porcentaje sale de accidentes con muerte, o realizar la muestra entre todos los que conducen bebidos a ver que porcentaje se muere. Pero si lo haces al revés y vas directo a contar los muertos…jeje, así no fallas.
    Esto puede ser muy dificil de hacerselo entender a muchas personas, pero todos se dan cuenta y coinciden en cuanto se hace el chiste de decir que: “si te mueres con el 40% si has bebido y con el 60% si no bebes, entoces es mejor beber para sobrevivir!!”
    Aquí todos ríen, ignorantes y sabios, aunque se rían de cosas distintas.

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  3. La lógica sirve de bastante poco cuando se habla de ciertas cosas, por ejemplo, de política o de economía… y así nos va.

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  4. discrepo en que el contrarreciproco sea siempre cierto, puedo no ponerme chaqueta aunque haga frio, y con el ejemplo del compañeros: si la calle no esta mojada puede haber llovido y que se haya secado.

    considero estos ejemplos, por no decir la logica, muy afectado por la subjetividad y la relatividad.

    Un articulo muy interesante y controvertido! 😉

    un saludo.

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    • El contrarecíproco no q entonces no p tiene su naturaleza en la premisa p entonces q. Por tanto, no cabe otra manera que sea que no q entonces no p, es decir, si no te has puesto chaqueta, es porque no ha hecho frío bajo la premisa de si hacía frío entonces llevo chaqueta. Tu pensamiento de no q entonces p tiene su contrarecíproco: no p entonces q, es decir, si no hace frío, te pones chaqueta, que no es la premisa de partida, por tanto, no se puede dar lo que tú dices porque no partes de premisas similares para poder asumir que se pueden dar varios casos. Esto es lógica, no opiniones o gustos de cómo salir a la calle 😉

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  5. Un ejemplo muy útil sobre esto es para teoremas, como el tema sobre la derivabilidad y la continuidad de funciones: Si una función es derivable entonces es continua y su contrarrecíproco: si no es continua entonces no es derivable.Yo esto también lo uso para asegurarme en los resultados al aplicar otros teoremas como el de Rolle(junto con el de Bolzano) para separar raíces u otros por ejemplo.

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  6. Amplando a Cartesiano Caótico, la lectura del 60% de los muertos no habian bebido añade mas confusionismo

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  7. yeyi, en el ejemplo del post, el contrarrecíproco si es cierto, porque como muy bien dice, parte de que “Si hace frío entonces me pondré una chaqueta” es siempre cierto. Por lo tanto, si no te pones la chaqueta, es porque no hace frio.

    En cuanto al ejemplo que comenta Martin, el error esta en el uso del lenguaje. al combinar formas verbales en presente y pasado.

    Si decimos

    “Si llueve, la calle se moja”

    El recíproco sería:

    “Si la calle se moja, llueve”, lo cual no es cierto, la calle puede mojarse por otras razones.

    el contrarecíproco no es “Si la calle no está mojada, no ha llovido” (que es falso, como tu bien dices) sería:

    “Si la calle no se moja, no llueve”, que si es verdadero.

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  8. Para @yeyi

    Pues si discrepas estas en un error (p -> q) y por contrarrecíproco: si no estás en un error es porque no discrepas (¬q -> ¬p).

    La lógica es como las matemáticas, no tienen nada de subjetivo, absolutamente nada. Es como decir que el resultado de 2 + 2 es subjetivo. Los ejemplos podrán ser mas o menos claros, pero subjetivos no. Otra cosa es aceptar la validez de la hipótesis que eso si puede ser discutible. Por eso para que la lógica tenga validez las hipótesis deben ser absolutamente válidas.

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  9. Te voy a comentar una falacia muy extendida, la mas extendida, de hecho, entre lógicos (y si es q esta expresión tiene algunos sentido) y estudiantes de lógica:

    La negación no implica metaafirmación de ninguna clase.

    Como tú bien has dicho, las falacias están al servicio del interés privado o particular, y en contra del común.

    Ésta es una falacia muy utilizada al servicio del interes particular del dogmatismo y sus formas. Especialmente la Ciencia y toda la filosofía dogmática.

    Porque coincidirás conmigo, una vez reconocida la falacia, que la llamada “demostración indirecta” o “por reducción al absurdo” no es una verdadera demostración (y en la medida q se hace pasar por tal por tanto, también una falacia).

    Sucede sin embargo que, la invalidez de la demostración indirecta, descubre que el principio de no contradicción es indemostrable, ni directa ni indirectamente. Como no podía ser de otro modo, y siendo el principio de no contradicción una hípotesis cualquiera, tomarla por verdadera es el acto fundacional de todo dogmatismo.

    Pero sin él (sin el ppio. de no-contr.), no se puede aspirar siquiera a conocer verdad alguna. Así pues, lo q esa falacia primera nos descubre es el primer y más oscuro interes privado o particular de todos: la cognoscibilidad de la verdad.

    Enhorabuena por el blog!

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  10. A mi me gusta el queso con agujeros pero siempre me encuentro con la siguiente paradoja:

    Cuanto más queso más agujeros;
    Cuantos más agujeros menos queso; … por tanto
    ¡Cuanto más queso, menos queso!

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  11. @Cartesiano caótico
    Las estadísticas son siempre una ciencia exacta mal usada.

    Como dices, habría que comparar ese 40% con el porcentaje total de conductores que han bebido, para saber cómo de significativo es ese 40%.

    No obstante, y a primera vista, parece que un 40% es un dato bastante significativo (no sé si es un dato real), pues a nadie se le pasa por la cabeza que el 40% de los conductores hayan bebido antes de coger el vehículo (esperemos que así sea).

    En el mal uso de las estadísticas yo diferenciaría entre las mal interpretadas y las directamente mal expuestas por quien las formula. Y dentro de esta últimas, las mal expuestas por ignorancia y las mal expuestas por mala fe. Queda mucho por avanzar en este mundo.

    Saludos

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  12. Jon Ander, la demostración por reducción al absurdo sí es una verdadera demostración, se puede demostrar que lo es.

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  13. El principal problema, creo yo, es que la gente se saca los axiomas del culo.

    “discrepo en que el contrarreciproco sea siempre cierto, puedo no ponerme chaqueta aunque haga frío”

    El asunto es que realmente la lógica no puede aplicarse (de forma útil) en muchas cosas.
    La frase correcta debería ser:

    “Si hace frío, y no me he dejado la chaqueta en algún sitio, y voy a salir de casa, y he comprobado la temperatura que hace fuera y no me he apostado nada con un colega a que salgo sin chaqueta y [….], entonces, me pongo chaqueta.”

    Pero al final del día, ¿que más da que la frase sea incorrecta o no lógicamente hablando? Lo único importante es que tu te entiendas a ti mismo, y que puedas hacer entenderte a los demás. A no ser que quieras vivir engañando a la gente, que de eso hay mucho.

    El problema de la gente que adora (adorar, en un sentido religioso) es que no prestan atención a las cosas importantes de verdad, aplican la lógica sobre axiomas nimios o sencillamente incorrectos.

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  14. Los diversos métodos de demostración matemática tales como reducción al absurso,inducción matemática(en todas sus variantes) son verdaderos.Por otra parte el contrarrecíproco es cierto en logica de 1º orden,aunque también depende en la logica en que trabajemos:trivalentes,fuzzy…..Recomiendo los libros de Javier de Lorenzo(matemático experto en filosofía de las matemáticas de la Universidad de Valladolid).

    (Nota del administrador: Siento que tu comentario no saliera en su momento, el filtro antispam lo interpretó como spam. Si te pasa de nuevo me envías un mail y si procede te apruebo el comentario, no es necesario que lo escribas más veces.)

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  15. a frangus:
    deberia volver a leer el post o retirarse del mundo de la logica
    decir que
    ““Si hace frío entonces me pondré una chaqueta” es siempre cierto. Por lo tanto, si no te pones la chaqueta, es porque no hace frio. ”
    Te conviene pasarte a un blog de recetas de cocina

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  16. Veo que aquí mismo tenemos un ejemplo de lo dificil que es hacer entender algo tan básico como p -> q. De hecho, esto no tiene que ver con matemáticas, es cuestión de lógica, y como muy bien han dicho por ahí no tiene nada de subjetivo.

    Respondiendo a Antonio, el 40% me lo he inventado, pero eso no importa, ya que de ese número no sacamos nada en claro, como mucho y teniendo en cuenta lo sesgado de la muestra podemos pensar que el 40% de los conductores beben. (uff, con esto seguro que se lía). En cuanto al uso malinterpretado de las estadísticas tenemos todos los días claros ejemplos en la política.

    En cuanto a la reducción al absurdo, no es una demostración de una hipótesis, sino una demostración de lo contrario, por lo cual demuestra que la hipótesis es falsa, y se trata de una herramienta o método para demostrar una proposición por medio de la negación.
    Es decir: Propongo p -> q, si desarrollando llego a la conclusión que entonces ¬q, entonces deduzco que si ¬q -> ¬p, luego si p -> ¬p. Por tanto lo cierto era lo contrario a lo propuesto inicialmente, si p -> ¬q.

    Creo entender que el queso de Juan es un chiste, porque una paradoja no parece que sea.

    Y lo que propone Mirlo no está demostrado, y si no que se lo digan a Turing.

    En cuanto a Nicolás y el resto de escépticos, les recomiendo que eliminan la “pajilla” de los textos y se queden con únicamente el lenguaje mátematico, creo que se pierden un poquito con la “subjetividad”. Cuando se parte de una premisa para seguir una línea de razonamiento, se da por válida la premisa, no importa lo que diga. Si digo que parto de que Si hace frío SIEMPRE me pongo una chaqueta, es SIEMPRE. Y si dijera que Si hace frío SIEMPRE me pongo las gafas, entonces SIEMPRE me pongo las gafas. Tratar de demostrar lo contrario empezando por negar directamente la premisa … mal vamos.

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  17. para Cartesiano.
    si hace frio SIEMPRE me pongo una chaqueta.
    Te aclaro que el SIEMPRE no existe en la premisa que estamos tratando, eso lo agregaste vos.
    ahora cito lo que en verdad dice
    “Si hace frío entonces me pondré una chaqueta”
    cuando gaussianos dice SIEMPRE, se refiere a que siempre va a ser verdad la premisa.
    te doy una forma de interpretarlo ya que por lo visto estas teniendo errores en donde poner el SIEMPRE dentro de la oracion.
    SIEMPRE que haga frio, me pondre una chaqueta. (creo que quedo claro)
    ahora… si desde este punto no podes obtener la consecuencia logica de que el reciproco no siempre se cumple, no es necesario aplicar ninguna regla de inferencia compleja ni nada loco, creo que deberias irte tb a un blog de cocina 😀

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  18. Jaja. Gracias Cartesiano por el apunte de Turing.

    Intentaré arreglarlo: Todos los que han escrito comentarios en este post son seres humanos.

    No estoy muy seguro, pero ahí queda.

    Saludos.

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  19. Ya podemos empezar a hablar de sesgo de confirmación y falacia ad hominem.

    Saludos.

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  20. Nicolas, yo no agregué nada, lo dice claramente el enunciado, yo solo he traducido el lenguaje lógico (los símbolos) al lenguaje verbal para explicarlo.
    literalmente ponía: p implica a q, o también leído si p entonces q.
    En el ejemplo
    p = Si hace frío
    q = Me pongo una chaqueta.
    “implica a” = “entonces” = “->” = “entonces siempre se cumple que” o como lo quieras expresar, tan sólo aclaraba que no se cumple cuando quieras sino SIEMPRE.

    Puedes cambiar “p” por lo que quieras, “q” por otra cosa, y “implica” por el nombre que se te ocurra para entenderlo, pero lo más facil es dejarlo en p -> q.

    Mira que ejemplo más sencillo:
    p = “entero positivo y par”
    q = “p+1 es entero positivo impar”

    si p -> q, por tanto si ¬q -> ¬p

    Decir que puede hacer frío sin que a mi me de la gana de ponerme la chaqueta es como decir que puede haber un p=par sin que a mi me de la gana de que p+1 sea impar.

    Mirlo, no has arreglado nada, es exactamente lo mismo. Cambiar leer por escribir…¿qué consigues?

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  21. perdon, estoy teniendo problemas para interpretarte, creo que encontre las lineas que no van con lo que decis

    if(siempre == entonces){
    printf(“fatal kernel error!, cartesiano is a doble discurso”);}

    voy a comentar esas lineas y asi si, ahora tenes razon

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  22. Y así funciona el mundo. La verdad se encuentra en la lógica, pero la dialéctica se queda con la razón.

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  23. Cartesiano, eres una entidad concreta y determinada con necesidades fisiológicas o formas parte de un entramado abstracto y binario?

    Saludos.

    Pd. O ambas cosas?

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  24. Con solo leer los primeros comentarios, veo que hay confusion en varios comentarios. (Como decirlo en palabras claras…) “La lógica es la lógica, es indiferente a el contexto” (no importa el contexto). En el ejemplo de “la calle está mojada, entonces ha llovido” suelen introducir cantidad de factores empiricos, que si está mojada fue por otro motivo, que si llovio pudo haberse secado. Todos estos son vicios dentro de la lógica, para entender el ejercicio hay que obviar la presicion del contexto empirico que conlleva dudas. Es dificil dar un ejemplo con rigor para explicar la lógica con pureza…

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  25. Vamos a ver, la implicación p \to q lleva implícito el “SIEMPRE”, no hace falta especificarlo. En mi ejemplo, la frase

    Si hace frío entonces me pondré una chaqueta

    significa que “SIEMPRE que haga frío me pondré la chaqueta”, que bajo mi punto de vista es exactamente lo mismo que “Si hace frío, SIEMPRE me pondré la chaqueta”.

    Lo fundamental del tema es que hay que tener claro que no puede darse el caso de que haga frío y no me ponga la chaqueta.

    nicolas, creo que te estás liando un poco, la verdad. Este comentario de frangus es correcto, no sé por qué lo criticas. Y Cartesiano Caótico también tiene razón. Te recomiendo que lo repases todo de nuevo :).

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  26. He discutido de esto frecuentemente con otras personas, finalmente he llegado a la conclusión de que los mejores ejemplos son los que usan los “subconjuntos” para afirmar la pertenencia al conjunto. Por ejemplo:

    Ser un perro implica ser un mamífero.
    De aquí podemos deducir que no ser un mamífero implica no ser un perro.
    Pero nunca podremos deducir que ser un mamífero implica ser un perro.

    Es algo que toda la gente ve muy claro. Otro ejemplo:

    Ser asturiano implica ser español.
    Por lo tanto no ser español implica no ser asturiano.
    Pero no es cierto que ser español implique ser asturiano.

    Y ahora una con polémica.

    Ir a votar implica apoyar a la democracia, es cierto, si no crees en la democracia para que vas a votar.
    Por lo tanto, no apoyar a la democracia implica no ir votar, también es cierto, seria, gracioso ver a Fidel Castro votando.
    Y… apoyar a la democracia implica… ¿ir a votar?, a los políticos les gusta decirlo. 😉

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  27. Nicolás, échale un vistazo a las reglas de inferencia y tablas de verdad del modelo lógico, en particular a la denominada “Modus poniendo ponens”, pues es la que se trata en el post. Uno de los principales errores en este caso se localiza en la interpretación de las premisas, en lugar de ceńirse al modelo lógico normativo.

    Ya que te pones, ojea la tarea de selección de Wason.

    Saludos, voy a ver el fútbol porque todos los socios del Barça quieren que gane al Madrid.

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  28. Que interesante que un post sobre lógica despierte tanto interés

    Que la coherencia lógica de nuestros argumentos sea una conditio sine qua non para el entendimiento con nuestros semejantes es una afirmación debatible, sin duda. Más correcto sería decir que eso depende de quién sea el semejante de que se trate. Claro que habría que saber qué definimos por ‘entendimento’, pero en cuanto a la persuasión, si presumimos que la proliferación de los modos de razonar falaces (como en el ejemplo de cartesiano) implica como mínimo persuasión de parte de los destinatarios de sus mensajes (y que ello conlleva “entendimiento”), entonces uno se ve forzado como mínimo a pensar que no ocurre que la lógica sea necesaria para el entendimiento recíproco. El extenso uso que reciben las falacias (en numerosos ámbitos) parece depender entonces del hecho de que la lógica no es necesaria para el común entendimiento (al menos fuere de los ámbitos de estudio de las ciencias deductivas).

    El tema de la implicación en sí no es algo simple y los mismos lógicos han debatido el tema. Se ha optado por llamar “implicación material” a aquella que representa el vínculo entre ‘p’ y ‘q’ en las fórmulas de este post. El otro sentido en que se suele hablar de implicación es el que se representa por ⊢ y es el que media entre p → q y ¬q → ¬p por ejemplo, en el segundo principio del post.

    No se ha comentado el tercero.
    Me pregunto qué sentido tendría en una demostración incluir alguna premisa más allá de las que sean estrictamente necesarias para deducir una determinada conclusión (es decir, si tenemos probado que p ⊢ q, ¿por qué recurrir a una demostración que incluya p, r ⊢ q?). Pregunto concretamente por las circunstancias en que se suscitan cuestiones como esa.

    Saludos

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  29. Mirlo, si no me equivoco no es ponendo ponens lo que se usa en el post, sino tollendo tollens:

    \vdash (p \to q) \to (\neg q \to \neg p)

    specu, no me quería meter en una discusión lógica a alto nivel. Lo que pretendía es que la gente reflexione sobre algunos razonamientos que utiliza a veces pensando que son lógicamente correctos y que en realidad no lo son.

    Y sobre lo que comentas del tercero, te lo enfoco de otra manera: supón que demuestras un teorema de matemáticas tipo

    \vdash p_1 \land \ldots \land p_k \to q

    ¿Tienes asegurado que todas las hipótesis p_i son necesarias para demostrar la tesis q? La respuesta es no. Alguna de ellas podría ser prescindible. ¿Tiene sentido plantearse esto? Evidentemente sí, ya que cuanto menor sea el número de hipótesis que necesitemos más potente será nuestro teorema. Principalmente por esto comenté esa tercera regla.

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  30. Ya veo, la cuestión no es referida a premisas (hipotéticas o no) sino a los miembros de una conjunción que figura como antecedente de una implicación material que ha sido demostrada.

    Así vistas las cosas, otra manera de expresarlo (que puede llegar a ser más claro) sería notar la equivalencia existente entre

      p_1 \land \dots \land p_k \to q

    y

      \neg p_1 \lor \dots \lor \neg p_k \lor q

    donde todas las formulas que aparecen en la conjunción del antecedente en la primer fórmula lo hacen en la segunda como miembros de una disyunción en las que se les ha antepuesto el signo de la negación.

    La disyunción  \lor significa que al menos una de las fórmulas presentes es vedadera. Así, por lo tanto, incluso si son falsas todas las  p_1 \dots p_k ello no prueba que  q tenga entonces que serlo.

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  31. Un comentario que quizá pueda ser de utilidad a quien se interese en estos temas.

    La implicación material es una clase de fórmulas lógicas cuya forma consiste en dos subfórmulas relacionadas con \to (y cuyo signigicado es que no es el caso que la primera sea verdadera y la segunda falsa).

    Cuando hablamos de modus ponens, modus tollens, etc., estamos hablando de reglas de inferencia, es decir, reglas pertenecientes a un sistema lógico en virtud de las cuales podemos, por ejemplo, inferir una fórmula partiendo de alguna otra. Afirmar que una fórmula es deductible de tal modo, es −a diferencia del caso anterior− una afirmación de segundo nivel. Para algunas fórmulas puede obtenerse una demostración sin necesidad de premisas, en cuyo caso se llaman teoremas.

    Ahora bien, existen dos teoremas lógicos que vinculan estas cuestiones ellos son.

    Si p \vdash q entonces \vdash p \to q
    y
    Si \vdash p \to q luego p \vdash q

    El signo \vdash representa simbólicamente que de la fórmula (o las en, caso de que sean más que una) que figuran a la izquierda es deductible la que figura a su derecha.

    La equivalencia que de esto se sigue no significa que ambas cosas sean lo mismo, pues la misma se establece entre la demostración de una fórmula suponiendo otra y la de un fórmula compuesta por ambas.

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  32. Los ejemplos de la chaqueta y la calle mojada no son muy buenos para aclarar lo de la implicación.

    Si tomamos
    p = llueve
    q = hay nubes
    es obvio que p implica q, como también es obvio que (no q) implica (no p).
    Fin.

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  33. Uff, creo que el post ha sido de lo más acertado. Por un lado, sin duda se empezó hablando de la lógica y el entendimiento. Y vaya que aquí no todos entendemos lo mismo!! Acierto!!

    No creo que la cuestión sea discutir sobre las reglas de inferencia. La reglas lógicas están definidas. Existen definiciones y teoremas sobre la lógica. Las definiciones no hace falta demostrarlas, son definiciones, no hay nada que discutir. Los teoremas están demostrados, no hay nada que discutir.

    El post hablaba sobre que hay alguna reglas lógicas aceptadas como ciertas que realmente no lo son, y por tanto llevan a razonamientos no ciertos. Es aquí cuando se genera el desconcierto, las discusiones y la falta de entendimiento.

    Por otro lado me parece que tiene razón Animono, que el ejemplo no era el mejor, y que el ejemplo de los subconjuntos de Alex está muy bien, pero hay que entender que solo es un ejemplo para poner palabras de uso cotidiano a unos símbolo matemáticos ó lógicos.

    La verdad es que no acabo de comprender del todo la necesidad de utilizar el operador “|-” (que no se ni como se escribe) que usa specu. Yo lo veo innecesario y me parece totalmente equivalente al operador “->” o “implica” o “entonces” o “es cierto”

    Si p \vdash q entonces \vdash p \to q
    me parece equivalente a
    Si (es cierto p) implica (es cierto q) entonces es cierto que (p implica q)
    lo cual es equivalente

    Si \vdash p \to q luego p \vdash q
    me parece equivalente a
    Si es cierto (p implica q) entonces es cierto que si p entonces q.
    vamos que no hacemos mas que darle mas vueltas a lo mismo

    que escribir \vdash p \to q es lo mismo que escribir p \vdash q
    y al final yo prefiero quedarme con el simbolo \to antes que con el simbolo \vdash para decir que “p implica q”

    Por favor, si no he entendido el símbolo \vdash explicádmelo, please

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  34. Cartesiano

    El razonamiento deductivo no es tan universal como se sugiere a veces. De hecho, fuera del ámbito académico de las ciencias deductivas no es para nada el único que se emplea. Lo que sí, muchas veces se lo combina con otros tipos de razonamiento, tanto correctos como incorrectos. De hecho, la física misma involucra tanto el razonamiento deductivo como otro tipo de razonamiento que no lo es, y no por eso es falaz. Las falacias también son muy habituales en diversos lugares. Etcétera.

    Los signos \vdash y \to representan cosas distintas. De modo breve podemos decir que \to es una constante del lenguaje formal de la lógica proposicional (que puede también formar parte de lenguajes más amplios, pero su significado va a seguir siendo el mismo). Un lenguaje como este suele estar compuesto por letras p, q, etc., cada una de las cuales son varibles y cuyos valores posibles son proposiciones (verdaderas o falsas). Las constantes lógicas como ∧, ∨, ¬ y → sirven para construir fórmulas que combinan variables (en el caso de ¬ se usa una sola). Son funciones. Por ejemplo ∨ significa que sirve para construir fórmulas con dos variables distintas y que la misma será falsa si esas dos variables también lo son, y verdadera en otro caso.

    Escrito en símbolos: si p es falsa y q es falsa, luego p ∧ q es falsa. En cualquier otro caso, p ∧ q es verdadera.

    En cuanto a →, su significado es que con ella se puede construir una fórmula de dos variables que será falsa en el único caso en que una de ellas, la que se escribe a la izquierda, sea verdadera y, a la vez, la otra falsa. Así, da lo mismo decir p → q que ¬p ∨ q, lo cual se puede expresar así:

    p → q ≡ ¬p ∨ q

    En cuanto a la relación entre “… → …” y el lenguaje conversacional, es un tema muy complejo, y de ninguna manera puede decirse que cualquier oración que emplee las palabra “si … entonces…” podría ser correctamente traducida como p → q (pero no quiero irme por este tema ahora).

    El significado de \vdash es el de que las fórmulas que se escriban a su derecha son deducibles tomando como premisas las que figuren a la izquierda (puede ser que no haya ninguna). Para entender esto hay que tener claro qué significa una deducción lógica. Hya que tener presente que hay distintos métodos para ello, y distintos sistemas. Pero de manera general puede decirse que comunmente este tipo de sistemas está compuesto de axiomas y de reglas de inferencia. Los axiomas no precisan demostración. Una demostración es el proceso deductivo que tomando como punto de partida una fórmula axiomática (o demostrada) llega a sentenciar otra con el sólo recurso de las reglas de inferencia del sistema (si te interesa este tema y queŕes ver ejeplos, acá escribí al respecto).

    En cuanto a la equivalencia que mencionás en tu comentario, no creo que la interpretación que hacés sea del todo correcta.

    Si p \vdash q entonces \vdash p \to q
    Significa que si, tomando como premisa p, puede deducirse q, entonces la fórmula p → q es deductible.

    Si \vdash p \to q luego p \vdash q
    Significa que, si la fórmula p → q es demostrable, luego q es deductible suponiendo p.

    Saludos

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  35. Alcaro que, debido a una errata, en el tercer párrafo del comentario anterior, donde dice ∧ debe decir ∨

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  36. Gracias por la respuesta specu.

    Lo cierto es que todo lo que cuentas creía conocerlo, pero lo cierto es que la lógica pura, parece no ser del todo igual a las matemáticas, física e informática. Se ve que la lógica es aún más profunda y necesita de más símbolos para expresar un lenguaje más profundo o de mayor nivel.

    El caso es que el símbolo \vdash no lo conocía. Pero el problema es que me chocaba que:

    Si p \vdash q entonces \vdash p \to q
    y
    Si \vdash p \to q luego p \vdash q

    Luego:

    p \vdash q  \equiv \ \vdash p \to q

    Dado que las dos expresiones son equivalentes, pensaba que podíamos elegir usar una de las dos, y dado que p \to q es demostrable partiendo como premisa del conjunto vacío, pues listo: p \to q o dicho de otra manera “si p entonces q”. Y entonces para que usar \vdash . Ya veo que tienen significado diferente, pero no es fácil verlo para un neófito.

    Creo que el problema es tanto el lenguaje como el ámbito en el que se apliquen los símbolos.

    Si leyera una relación lógica en chino seguro que tendría problemas en entenderla. Creo que lo primero es enteder el lenguaje para poder entenderse, y el símbolo \vdash no lo conocía, ni el símbolo ni el significado y uso.

    Pero podrías darme un ejemplo donde no se pueda traducir “si p entonces q” como p \to q ?
    Creo que todo debe poderse expresar exactamente con unas determinadas palabras, porque si no el lenguaje se vuelve ambiguo. Y si esto ocurre, es fundamental reconocer dónde están estas singularidades para evitar malos entendidos cuando dos personas no coinciden en el mensaje.

    Saludos

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  37. Cartesiano

    Bueno, como el tema es largo, sólo haré en este comentario dos menciones breves.
    Dada la definición del condicional, los condicionales contrafácticos tales como

    Si Bizet y Verdi hubieesen sido compatriotas, Bizet habría sido italiano.

    o

    Si Bizet y Verdi hubieesen sido compatriotas, Verdi habría sido francés.

    No son tales, pues conduciría claramente a una contradicción. Además, en cualquier contrafáctico el antecedente es falso, pero lo que se pretende decir con ellos es algo más que el hecho de que debe ser aceptado por ese motivo. Si alguien dice:

    Si Jones tuviera el cargo, habría sido despedida la mitad de los empleados

    No bastaría el hecho de que Jones no tenga el cargo para decir que dijo una verdad.

    Consideremos ahora (1):

    Si hace frío entonces me pondré una chaqueta

    Interpretarla como un condicional no parece ser lo más habitual. Veamos lo siguiente:

    Dada la definición de p → q, podemos afirmar que no es contradictoria la fórmula:

    (p → q) ∧ (p → ¬q)

    pues es verdadera en caso de que ‘q’ no lo sea (y sólo en ese caso). Pero por otra parte, decir:

    si hace frío, entonces me pongo una campera y si hace frío no me pongo una campera

    parece incompatible y cualquiera que le dijera eso a alguien se expone a que le repliquen que se contradice (y precisamente este post parece motivado en refutar a ese interlocutor).

    Saludos

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  38. Habrás notado que, a diferencia de como dice en mi comentario de arriba, “(p → q) ∧ (p → ¬q)” es verdadera en caso de que ‘p’ no lo sea

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  39. Mi humilde opinión:

    El problema a la hora de hacerse entender por los demás es la malinterpretación por falta de datos.

    Es muy humano (matemáticos y lógicos no sé a qué especie pertenecen) el introducir en el enunciado de cualquier frase datos añadidos subjetivamente, si no se ha explicitado de forma patente su exclusión. Ahí tenemos el ejemplo de algún comentarista que no entendió que “->” significaba “SIEMPRE” (un siempre matemático, no subjetivo, no mundano), porque no lo subrayó el autor lo suficiente, adelantándose a las posibles dificultades de comprensión del receptor.

    Así, si se busca un mejor entendimiento, no queda más remedio que ir por delante de esos posibles errores de comprensión por parte del otro.

    En resumen, darlo todo muuuy mascadito, sin ahorrar en explicaciones, datos y nimiedades mil.

    Muchas incomprensiones no son sólo por deficiencias en la lógica del receptor: en no pocas ocasiones se debe a una exposición poco clara del mensaje, por economía, o por presuposiciones varias.

    Todos, seguramente, tenemos la experiencia de presenciar una acalorada discusión entre personas que en realidad están de acuerdo, sólo que no se dan cuenta hasta el final (puede ser tras varias horas).

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  40. El post es sumamente acertado y muy necesario. Lástima que lograr que las personas lo asimilen es algo un poco más que difícil.

    La lógica, al igual que la matemática, no es una ciencia exacta; son ellas dos ciencias formales. Ellas dan sentido, incluso, a las demás ciencias. No están pensadas como sofisticables ni tampoco reducibles: son simples, llanas y a la medida justa. Por supuesto que no son el único ni el primero de los conocimientos que la humanidad ha logrado madurar a pleno, pero sí los más eficaces al momento de encontrar sentido a los enunciados y como tamiz de los razonamientos en las diversas áreas.

    Simplemente tres de entre muchas reglas de la lógica han sido tratadas en este artículo y considero que con la entereza, claridad y practicidad necesarias. 1) El recíproco no es necesariamente cierto, 2) El contrarecíproco es siempre cierto y 3) La eliminación de una de las premisas no presupone la inclinación hacia la veracidad o la falsedad del enunciado. Si no se está claro en esto toca revisar el pensum estudiado y ver si se toman estudios que refuercen lo que no se logró en la licenciatura o en cualquiera que haya sido el estudio superior tomado.

    Celebro con satisfacción la rápida cuenta que hago de que en el blog, la mayoría de las personas tratan con suficiente dominio la lógica y logran ayudar a los menos entendidos, incluso antes de que lo haga el posteador. Eso habla bien de la gente que día a día enfrenta la necesidad de tomar el estudio con formalidad y perseverancia, aún en áreas que a muchos parecen tan detestables como la matemática.

    Yeyi tropieza con un punto que le hace dudar sobre la veracidad del contrarecíproco al igual que Tao, sin embargo supongo que por no haber entendido antes que se trata de que la premisa “p entonces q” se toma como válida desde un principio, indiferentemente de su contenido. Juan nos regala un chiste claramente entendible y de buen gusto con el ejemplo de los huecos del queso y la dasaveniencia de la cantidad de éstos en relación inversa a la cantidad de queso; chiste que no ha de confundirse con una mala crítica; más, no igual puedo hablar de comentarios como los de Jon Ander, al decir “Ésta es una falacia muy utilizada al servicio del interes particular del dogmatismo y sus formas. Especialmente la Ciencia y toda la filosofía dogmática” -refiriéndose a reglas de la lógica a la vez que culpa de las supuestas falacias de las que habla a los estudiantes de lógica-… ¡Ey muchacho! ¿a dónde vas con eso? En un medio de científicos no puedes llamar dogmática a la ciencia, por mucho que algunos científicos o pseudocientíficos que hayas leído o escuchado utilicen el dogmatismo como método de hacer prevalecer sus hipótesis. No porque te vayan a censurar por aquí, sino porque quedarías aplastado luego de las innumerables correcciones. La ciencia es muy diferente a eso que dices; es el no al dogmatismo pronunciado por los primeros filósofos griegos y demás culturas, mantenido en silencio durante periodos tan atroces como el oscurantismo y gritados en emancipaciones luego del renacimiento. Nunca confundir la ciencia con dogmatismo; no en concepto ni mucho menos en trayectoria. Son cosas casi opuestas. Y sus mecanismos… sus mecanismos son el razonamiento, la lógica, la matemática, la filosofía bien atinada y la naturaleza misma de los fenómenos físicos.

    Definitivamente bienvenida la lógica. Un saludo!

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  41. Specu

    Perdona por responder tan tarde. Trataré de discutir 2 cosas:
    1º. No veo ningún problema en lo que expones del contrafáctico

    | “Si Bizet y Verdi hubieesen sido compatriotas, Bizet habría sido italiano.
    | o
    | Si Bizet y Verdi hubieesen sido compatriotas, Verdi habría sido francés.”

    La primera proposición ( p -> q ) puede ser cierta o falsa.
    La segunda proposición ( p -> r ) puede ser cierta o falsa.

    Suponiendo que no se puede ser italiano y francés a la vez (para facilitar la deducción) se llega a que las dos proposiciones no pueden ser ciertas a la vez. Pero eso en sí mismo no es un problema.

    Observa que considero claramente que q y r son distintos. Y no se si pretendías poner ese ejemplo, pero por lo que seguías comentando me parece que no era eso lo que pretendías exponer. Se ve en lo siguiente que comentas:

    | Dada la definición de p → q, podemos afirmar que no es contradictoria la fórmula:
    |
    | (p → q) ∧ (p → ¬q)
    |
    | pues es verdadera en caso de que ‘p’ no lo sea (y sólo en ese caso).

    Tampoco veo aquí nigún problema. Esa fórmula es válida. Podemos decir que si p es cierto entonces la fórmula es falsa. Por lo que se puede decir que p nunca ocurre. Pero eso no es ningún problema. Es fácil ver que: (¬q → ¬p) ∨ (q → ¬p) implica que si la fórmula es cierta enonces p siempre es falso sin importar si q es cierto o falso.

    Así que en definitiva no veo ningún problema o contradición.

    2º. Te pedía un ejemplo en el que no se pueda expresar el condicional “si…entonces…” como (p → q).
    Creo que no he llegado a ver el ejemplo, si es que lo has puesto. Sigo convencido que lo primero no es mas que el lenguaje verbal y el segundo el lenguaje mátemático para expresar lo mismo.
    —–

    Y ahora tratando de retomar el post original y partiendo de (p → q) quería expresar que:
    – Continuamente me encuentro con discusiones debidas a que mi interlocutor deduce, manifiesta y defiende que (q → p). A veces en cosas sin importancia y otras veces en cosas terribles. En la práctica: “como ha ocurrido q tenemos que hacer p” ¿? Grave error!
    – Es cierto que a veces también me encuentro con problemas debido a que mi interlocutor niega que (¬q → ¬p). En la práctica: “No ha ocurrido q, entonces podemos hacer p o no hacer p si yo quiero”. ¿? Error!! Pero esto en la práctica me ocurre con mucha menor frecuencia.
    – Es el gran recurso de los ignorantes y sobre todo de los aprovechados magufos el generalizar a partir de un caso particular. Si partimos ahora de (p1, p2) → q cualquier magufo se apoyaría en que si le compras p1 obtienes q. De hecho habrán documentado miles de casos en los que ocurrió q y p1. Esto se ve todos los días en cualquier ámbito de la vida, en la teletienda, en los anuncios, en las noticias, en las estadísticas, en las conferencias de los políticos, etc. Todo consiste en manipular la información para convencer a los demás de que tienes razón basandote únicamente en un hecho cuando sería necesario contar con la existencia simultánea de varios hechos. Pero claro! si tienes miles de ejemplos en los que se produjo q partiendo de p1, pues está claro que p1 es lo que lo produce, no? Como se suele decir: 10.000 millones de moscas no pueden estar equivocadas -> come mierda!

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  42. las frases:
    (1) “Si Bizet y Verdi hubiesen sido compatriotas, Bizet habría sido italiano.”
    y
    (2) “Si Bizet y Verdi hubiesen sido compatriotas, Verdi habría sido francés.”

    apuntan a mostrar que en el lenguaje conversacional la palabra “si” o las palabras “si … entonces” no siempre se usan para enunciar una implicación material. Yo no digo que haya ningún problema, simplemente digo que son aptas para mostrar lo que digo, lo cual es otra cosa. Quien enuncia (1), sabiendo que ‘p’ es falso, no se limita a decir “Bizet y Verdi no fueron compatriotas” sino que sugiere una implicación (en un sentido no material).

    Tampoco hay ningún problema (ni sugerí tal cosa) con “(p → q) ∧ (p → ¬q)”. Simplemente digo que esto es apto para poner de relieve que cuando se usan “si … entonces” al hablar no siempre se lo hace para proferir una implicación material. Retomando el ejemplo del post, de la validez de esa fórmula se sigue (por reemplazo):

    * Si hace frío entonces me pondré una chaqueta y si hace frío entonces no me pondré la chaqueta.

    (*) es, analizada lógicamente como “(p → q) ∧ (p → ¬q)” es válido en caso de que ¬p, sin embargo, si alguien, conversando, nos dijera (*) podríamos pensar que no se entiende bien qué nos quiere decir.

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  43. El contrarrecíproco no es una regla lógica. Si acaso será un teorema que se demuestra a partir de los axiomas y con la regla lógica modus ponens. Incluso a veces el contrarrecíproco se incluye en algunos sistemas de axiomas, con lo que ni siquiera haría falta demostrarlo.

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  44. Al final, el problema es de convenio de lenguaje.

    Un amigo. que curso 1 año en un seminario para curas me dijo que todas las noches tenian debates (los temas no … importan).

    Antes de empezar indicaban el significado exacto de las palabras mas importantes que iban a utilizar para evitar debates estériles sobre el significado exacto de esas palabras.

    Al final del todo, uno de los grandes problemas de la comunicación es simplemente ponernos de acuerdo en lo que significa cada palabra o cada símbolo que utilizamos.

    En este blog hemos hecho/padecido debates sobre si el 0 € N, si un primo es divisible solo por el mismo o también por el 1, … que son puramente problemas semánticos que no afectan al cuerpo de la matemática sino a la manera de definir lod temas a atacar.

    Yo, personalmente, paso de ello y simplemente en caso de duda pregunto la aclarición correspondiente.

    Por ejemplo, sea un z entero positivo o un N-{0} es lo mismo si crees que el 0€N y sino sea n€N.

    Ahí no me vereis, poner lo que querais, a mi vale igual, aunque yo tenga una idea de clara de lo que son los axiomas de Peano.

    En la simbología de la lógica ocurre lo mismo, si no estamos de acuerdo antes de empezar en el significado de los símbolos, no nos entenderemos.

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  45. Si tengo frío y tengo abrigo entonces me pondré una chaqueta.
    Si no me he puesto una chaqueta entonces no tengo frío o no tengo abrigo

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  46. Los dolores de cabeza que me ha generado esto… siempre la logica la entendi de una forma bastante intuitiva, supongo que a lo largo de mi vida con ejemplos y contra ejemplos fui intuyendo que leyes funcionaban y cuales no (aunque no sea una forma valida de hacerlo), pero siempre me parecio algo intrisico del pensamiento, pero hay gente que no lo conoce.
    Finalmente conclui, en que deberia enseñarse en todos los colegios, grandes problemas de entendimiento de otras disciplinas surgen de aqui.

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  47. julio, toda ciencia es exacta o de otro modo no es ciencia, esto incluye a la matemática y la lógica…

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  48. Un ejemplo sería:
    Directa: “Si mi perro no hubiera fallecido estaría vivo”
    El recíproco sería: “Si mi perro está vivo entonces no ha fallecido” (si hay implicancia válida)
    El contrarecíproco sería: “Si mi perro no esta vivo entonces falleció” (si hay implicancia válida)

    Otro ejemplo:
    Directo: “Si saco la lotería me compró un homecar”
    Recíproco: “Me compré un homecar entonces me saqué la lotería” (podría haberme comprado el homecar sin necesidad de sacarme la lotería, entonces no es necesario que se de el recíproco)
    Contrarecíproco: “No me compré el homecar, entonces no saqué la lotería” (puesto que había afirmado que si me sacaba la lotería entonces me compraba un homecar, el hecho de no comprarlo me asegura que no saqué la lotería).

    No se porque tanto problema con esto de las implicancias, los recíprocos y contrarecíprocos.

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