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Calcular las raíces n-ésimas de z

Introducción

Aunque \mathbb{R}, el conjunto de los números reales, es un subconjunto de \mathbb{C}, el conjunto de los números complejos, entre ellos hay muchas diferencias. Hace un tiempo vimos una de ellas relacionada con la ausencia de orden en \mathbb{C} [1] (al contrario de lo que ocurre en \mathbb{R}). Y en este artículo vamos a ver otra relacionada con raíces n-ésimas.

Como sabemos, las raíces en \mathbb{R} se pueden dividir en dos grupos en lo que al número de soluciones posible se refiere:

En \mathbb{C} las cosas son mucho mejores: al calcular la raíz n-ésima obtenemos n soluciones, es decir, todo número complejo tiene 2 raíces cuadradas, 3 raíces cúbicas, etc. Esto es lo máximo que se puede pedir, obtener tantas soluciones como índice tenga la raíz. Vemos por qué:

Tomamos la ecuación z^n-z_0=0, ecuación polinómica de grado n. Al ser \mathbb{C} un cuerpo algebraicamente cerrado (es decir, toda ecuación polinómica con coeficientes en \mathbb{C} tiene todas sus raíces en el propio \mathbb{C}) tenemos que las n raíces de dicha ecuación son números complejos. Despejemos ahora z:

z=\sqrt[n] {z_0}

Como la ecuación debe tener n raíces tenemos que la forma más correcta de llamar a z no es la raíz n-ésima, sino las raíces n-ésimas. Esto es, al calcular la raíz n-ésima de un número complejo obtenemos un conjunto de n números complejos.

Cálculo de las raíces n-ésimas

En este punto vamos a ver cómo calcular las raíces n-ésimas que hemos comentado antes que tiene todo número complejo.

Como vimos en el artículo sobre coordenadas polares [2] todo número complejo z=x+iy puede representarse como el punto (x,y) en el plano y a partir de dicha representación pueden definirse el módulo (r) y el argumento (\theta) de tal número complejo. Recuerdo el gráfico utilizado en dicho post:

Módulo y argumento de un número complejo

Como esa relación es biunívoca (a todo número complejo le corresponden un módulo y un argumento y viceversa) tenemos que dando el módulo y el argumento de un número complejo tenemos perfectamente determinado dicho número.

Y así es como vamos a definir las raíces n-ésimas de z: dando el módulo y el argumento de cada una de ellas. Pero no las vamos a dar sin más, sino que vamos a expresarlas en lo que se denomina forma trigonométrica1. Vamos con ello:

Dado z\in\mathbb{C} con módulo r y argumento \theta, se define el conjunto de sus raíces n-ésimas de la siguiente forma:

\sqrt[n]{z}=\{ \sqrt[n]{r} \cdot (cos(\textstyle{\frac{\theta+2k \pi}{n}})+isen(\textstyle{\frac{\theta+2k \pi}{n}})); \, k=0,1, \ldots n-1 \}

Es decir, tomando la expresión anterior y dando a k los valores 0,1, \ldots n-1 obtenemos n números complejos distintos, que son los que se denominan raíces n-ésimas de z.

Vamos a ver un par de ejemplos:

  1. Tomamos z=i, cuyo módulo es r=1 y cuyo argumento es \theta=\textstyle{\frac{\pi}{2}}. Tenemos entonces: \sqrt{i}=\{ \sqrt{1} \cdot (cos(\textstyle{\frac{\textstyle{\frac{\pi}{2}}+2k \pi}{2}})+isen(\textstyle{\frac{\textstyle{\frac{\pi}{2}}+2k \pi}{2}})); \, k=0,1 \}

    Damos a k los valores pertinentes:

    -) k=0: \, 1 \cdot (cos(\textstyle{\frac{\textstyle{\frac{\pi}{2}}}{2}})+isen(\textstyle{\frac{\textstyle{\frac{\pi}{2}}}{2}}))=cos(\textstyle{\frac{\pi}{4}})+isen(\textstyle{\frac{\pi}{4}})=\textstyle{\frac{\sqrt{2}}{2}+i \frac{\sqrt{2}}{2}}

    -) k=1: \, 1 \cdot (cos(\textstyle{\frac{\textstyle{\frac{\pi}{2}}+2 \pi}{2}})+isen(\textstyle{\frac{\textstyle{\frac{\pi}{2}}+2 \pi}{2}}))=cos(\textstyle{\frac{5 \pi}{4}})+isen(\textstyle{\frac{5 \pi}{4}})=\textstyle{-\frac{\sqrt{2}}{2}-i \frac{\sqrt{2}}{2}}

  2. Tomemos ahora z=-8, cuyo módulo es r=8 y cuyo argumento es \theta= \pi. Veamos que aunque en \mathbb{R} obtenemos una única solución al calcular su raíz cúbica (que sería -2), en \mathbb{C} obtenemos tres soluciones (el propio -2 y otras dos más): \sqrt[3]{-8}=\{ \sqrt[3]{8} \cdot (cos(\textstyle{\frac{\pi+2k \pi}{3}})+isen(\textstyle{\frac{\pi+2k \pi}{3}})); \, k=0,1,2 \}

    Veamos qué soluciones obtenemos:

    -) k=0: \, 2 \cdot (cos(\textstyle{\frac{\pi}{3}})+isen(\textstyle{\frac{\pi}{3}}))=2 \cdot \left ( \frac{1}{2} +i \frac{\sqrt{3}}{2} \right )=1+i \sqrt{3}

    -) k=1: \, 2 \cdot (cos(\textstyle{\frac{\pi+2 \pi}{3}})+isen(\textstyle{\frac{\pi+2 \pi}{3}}))=2 \cdot (cos(\pi)+isen(\pi)))=2 \cdot (-1)=-2

    -) k=2: \, 2 \cdot (cos(\textstyle{\frac{\pi+4 \pi}{3}})+isen(\textstyle{\frac{\pi+4 \pi}{3}}))=2 \cdot (cos(\textstyle{\frac{5 \pi}{3}})+isen(\textstyle{\frac{5 \pi}{3}}))=1-i \sqrt{3}

Relación con los polígonos regulares

Vista ya la manera de calcular las raíces n-ésimas de un número complejo y sabiendo que todas ellas son a su vez números complejos, cabría preguntarse si al representar dichas raíces como puntos del plano tendrían algún tipo de colocación concreta o se situarían de forma azarosa. Como sería un chasco que ocurriera esto último los números complejos nos brindan una hermosa representación en esta situación:

Para z\in\mathbb{C} y n \ge 3, se tiene que los puntos obtenidos al representar cada una de las raíces n-ésimas de z en el plano son los vértices de un polígono regular de n lados centrado en el punto (0,0).

Esto es, si representamos las raíces n-ésimas de un número complejo z como puntos del plano y unimos cada uno de los puntos con el obtenido inmediatamente después en el cálculo de las raíces obtenemos un polígono regular de n lados.

Según esto, en el caso anterior las tres raíces cúbicas de z=-8 forman un triángulo equilátero centrado en (0,0). Lo vemos en la siguiente gráfica:

Triángulo equilátero


1: Si z\in\mathbb{C} (con módulo r y argumento \theta), la forma trigonométrica de z es:

z=r \cdot (cos(\theta)+isen(\theta))