Cambiando denominadores

Hoy os traigo un problema que me he encontrado por casualidad mientras buscaba otra cosa y que me ha parecido interesante. La cosa va de cambios de denominadores en fracciones. Ahí va:

Si sumamos las fracciones 1 \over 2 y 8 \over 5 obtenemos:

\cfrac{1}{2} + \cfrac{8}{5} = \cfrac{21}{10}

Si intercambiamos sus denominadores y sumamos las fracciones resultantes nos queda:

\cfrac{1}{5} + \cfrac{8}{2} = \cfrac{21}{5}

Es decir, obtenemos como resultado el doble del resultado de la suma anterior.

El problema que se plantea consiste en encontrar dos fracciones (ambas positivas) que cumplan que al intercambiar sus denominadores y sumar las nuevas fracciones obtengamos como resultado 100 veces la suma de las fracciones iniciales.

Se entiende que la idea es que, además de dar alguna solución, comentéis cómo la habéis obtenido (si es que hay soluciones).

Que se os dé bien.


Este problema participa en la Edición X.3 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión capitanea nuestro amigo Pedro.

Author: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

14 Comments

  1. Una solución:
    1/2+101/20198=5100/10099
    1/20198+101/2= 510000/10099

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    • “Se entiende que la idea es que, además de dar alguna solución, comentéis cómo la habéis obtenido (si es que hay soluciones).”

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  2. Fracciones iniciales: a/b+c/d
    c/b+a/d=100(a/b+c/d)
    cd+ab=100(ad+bc)
    Dividiendo por ab, y llamando m=c/a n=d/b
    mn+1=100(m+n)
    m=(100n-1)/(n-100)
    A partir de la expresión anterior podemos deshacer los cambios, y una vez ordenados y parametrizados, obtener las soluciones, para cualquier valor entero de x,y,z:
    a=x(100-y)
    b=z
    c=x(100y-1)
    d=yz
    Es decir:
    (x/(y-100))/z+(x(100y-1))/(yz)

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    • Hay un error de transcripción en el coeficiente a. La solución correcta debe ser:
      a=x(y-100)
      b=z
      c=x(100y-1)
      d=yz

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      • Con tu permiso, aprovecho tu razonamiento hasta m=(100n-1)/(n-100). Sustituyendo m por c/a obtenemos n=(100c-a)/(c-100a), necesitando que c>100a. Haciendo b=c-100a y d= 100c-a, tenemos que las fracciones son de la forma: a/(c-100a) y c/(100c-a) con c>100a.

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        • Parece que las expresiones que das ofrecen soluciones. Las mías también. La cuestión es si ofrecen o no TODAS las soluciones posibles. Ahí no lo tengo tan claro. En tu expresión hay dependencia de 2 parámetros y en la mía de 3. He probado a obtener una solución con mis parámetros y al intentar obtener dicha solución a partir de los tuyos, no se logra. Y lo mismo a la inversa. Eso me hace pensar que quizá haya una solución más general.
          Pongo un ejemplo. La solución 3/2+10299/206 no se obtiene con la expresión que has utilizado.

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          • Te agradezco tus comentarios, los utilicé para la resolución.

            El problema pedía dos fracciones positivas y para obtener dos basta con un a y un c siendo c>100a, pero si las queremos encontrar todas, debemos obtener la fracción irreducible de n, a la que llamaremos p/q y tomaremos b=k*q y d=k*p, siendo k cualquier natural.
            En tu caso: a=3, c=10299, calculamos n=(100c-a)/(c-100a)=1029897/9999=103/1, donde p=103 y q=1.

            Tomando k=2, b=2*1=2 y d=2*103=206. Así obtenemos tus fracciones: a/b=3/2, y c/d=10299/206.

            Con 1/3+101/30297 pasa lo mismo, a=1, c=101>100a, calculamos n=(100c-a)/(c-100a)=10099/1. Tomando p=10099, q=1 y k =3 tenemos: a/b=1/(k*q)=1/3 y c/d=101/(k*p)=101/30297.

            En efecto, a partir de a y c Naturales con c>100a, obtenemos n, simplificamos n, obteniendo p/q, y utilizando un tercer parámetro natural, k, describimos todas las fracciones posibles.

    • Supuse que no sería tan complicado generalizarlo a k veces en lugar de únicamente 100 veces. Y no es tan sencillo. El problema consistiría en encontrar a,b,c,d enteros positivos tales que a/d+b/c=k*(a/c+b/c) con k también entero positivo. Haciendo cuentas:
      d=((k*b-a)/(b-k*a))*c
      Denominemos {D} a esta expresión.
      Puesto que c y d son enteros positivos, el cociente que multiplica a c en {D} debe ser positivo. Un somero análisis del mismo nos conduce a que b debe estar en el abierto (0,a/k) o bien ser estrictamente mayor que k*a. A efectos prácticos no vanos a elegir, aunque podríamos, un numerador a tan grande como para que b sea menor que a/k. Nos centraremos en el intervalo abierto (k*a, infinito). No resolvemos totalmente el problema, pues. En ese intervalo b=k*a+r, donde es es, evidentemente, también entero positivo. Sustituyendo esta expresión de b en {D}:
      d=(k^2-1)*a/r+k*c
      Y puesto que k*c es entero positivo, obtenemos que r es divisor de (k^2-1)*a, lo que demuestra que el número de soluciones, fijados a y c, es finito.
      En lugar de fijar c, podíamos haber fijado d, y el resultado no diferiría gran cosa.
      Por último, el problema que se planteaba:
      Tomamos por ejemplo a=1, c=3, y va a ser k=100.
      r debe dividir a (k^2-1)*a*c=29997
      r puede valer 1,3,9,11,27,33,… (16 divisores si no me equivoco)
      Por comodidad tomamos r=1.
      b=100*1+1=101
      Y, utilizando la fórmula {D} obtenemos que d=30297
      Luego:
      1/3+101/30297=3400/10099
      1/30297+101/3=340000/10099

      En resumen, hemos obtenido dos condiciones para que el cambio de denominadores produzca una suma k veces mayor:
      1. Que b sea mayor que k*a, y queda pendiente de analizar el pequeño intervalo (0,a/k)
      2. r, tal como lo hemos definido, debe ser divisor de (k^2-1)*a*c

      En fin, espero no haber cometido errores en la transcripción, y que más o menos se entienda.
      Un cordial saludo.

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      • Una errata:
        Donde dice «donde es es» debe decir «donde r es».

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        • Otra errata. En el primer párrafo dice «=k*(a/c+b/c)» y evidentemente debe decir «=k*(a/c+b/d)»

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          • A continuación lo que he visto al analizar el caso en que b<a/k.

            En este caso tanto el numerador como el denominador de la fracción que multiplica a c en la fórmula {D} de mi anterior post son negativos. Podemos escribirla de esta otra manera para que sean positivos:

            (a-k*b)/(k*a-b)

            Puesto que ahora b menor que a/k, tenemos a mayor que kb y es fácil ver que el denominador es mayor que el numerador, con lo que la fracción es menor que 1, y la única posibilidad de hacer d entero positivo (fórmula {D}) es que el denominador k*a-b sea un divisor de c, o lo que es lo mismo, que c sea múltiplo de k*a-b:

            c=(k*a-b)*s donde s es un entero positivo.

            Así, establecido k, elegimos un valor para b, tomamos para a un valor mayor que k*b e igualamos c a cualquier múltiplo de k*a-b. Por último calculamos:

            d=c*(a-k*b)/(k*a-b)

            Pero como c=(k*a-b)*s

            d=s*(a-k*b)

            Ahora sí hay infinitas soluciones puesto que s puede ser cualquier número natural.

            Un ejemplo concreto utilizando el valor k=100 propuesto:

            Asignamos cualquier valor a b, por ejemplo b=6.

            k*b=600, a debe ser mayor, sea pues a=601.

            k*a-b=60094. c debe ser múltiplo de este valor. Tomemos c=120188 (s=2)

            d=s*(a-k*b)=2*(601-100*6)=2

            Ya está listo. a=601, b=6, c= 120188 y d=2:

            601/120188+6/2=361165/120188

            601/2+6/120188=36116500/120188

            Creo que con esto, salvo errores que haya podido cometer, queda totalmente analizado el problema. Tenemos un número finito de soluciones si b es mayor que k*a fijando de antemano a y c; e infinitas soluciones si b es menor que a/k, una vez fijado b.

            He estado buscando maneras de hacer más simple toda esta complicación, pero no lo he logrado.

            Saludos.

      • Una versión más sencilla, si queremos generalizar el problema para un «k» cualquiera, podría ser esta:
        Para los parámetros, x,y,z>0 siendo y>k las soluciones vienen dadas por
        a=x(y-k)
        b=z
        c=x(ky-1)
        d=yz
        Podemos comprobar:
        a/b+c/d=x(y^2-1)/yz
        a/d+b/a=kx(y^2-1/yz

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      • Es cierto, pero yo creo que no todas las posibles soluciones pueden generarse por esa parametrización. Por ejemplo la solución, con tu notación, a=1, b=3, c=101, d=30297, k=100, no me sale de esas expresiones.

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  3. Otra solución: 2/3 + 201/60294. Lo que he hecho es fijar la primera fracción (por ejemplo 2/3) y llamar x/y a la segunda. Aplicando las condiciones del problema llegamos a una relación entre x e y, En este caso: y = (300x – 6)/(x – 200). Ahora lo que hacemos es buscar una x que haga que la y sea entera y mayor que 0, lo más fácil es hacer x = 201 para que abajo salga 1. Así llegamos a la solución.

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