¿Sabía que…
Feb07

¿Sabía que…

…como promedio, el número de representaciones de un número entero positivo s como suma de dos cuadrados de números enteros (es decir, s=n^2+m^2 con n,m\in\mathbb{Z}) es \pi?

Al menos eso nos asegura Clifford A. Pickover en su libro Las matemáticas de Oz, que ya habréis visto en algún post y que probablemente veréis en alguno más.

¿Qué es eso del promedio? Muy sencillo:

  • {0}: Representaciones:1: 0=0^2+0^2
  • 1: Representaciones: 4: 1=1^2+0^2,1=(-1)^2+0^2,1=0^2+1^2,1=0^2+(-1)^2
  • 2: Representaciones: 4: 2=1^2+1^2,2=(-1)^2+1^2,2=1^2+(-1)^2,2=(-1)^2+(-1)^2
  • 3: Representaciones: 0

y así, respectivamente, el 4 tiene 4; el 5 tiene 8; el 6 tiene 0, el 7 tiene 0, el 8 tiene 4, el 9 tiene 4, el 10 tiene 8

El promedio para cada n se hace así: se suman las representaciones de cada número entre {0} y n y se divide el resultado entre n. Por ejemplo, para los números del {0} al 10 haríamos el siguiente cálculo:

\cfrac{1+4+4+0+4+8+0+0+4+4+8}{10}=3,7

Bueno, pues al parecer si hacemos crecer n ese promedio tiende a \pi.

No he podido encontrar más información sobre el asunto. Si alguien encuentra algo que me lo comunique. Lo que sí he podido encontrar es cómo saber cuántas representaciones hay en cada caso, ya que en principio uno no ve una forma sencilla de calcular cuántas representaciones tiene un número entero positivo cualquiera como suma de dos cuadrados. Pues hay una forma, no de calcular el número de representaciones para cada número sino el número total de representaciones de todos los números desde {0} hasta un cierto n (es decir, la suma que luego deberíamos dividir entre n). Ese número es el número de puntos de coordenadas enteras dentro de un círculo de radio \sqrt{n} según este post del blog de Juán de Mairena. Con este dato calcular esa suma de representaciones es mucho más sencillo.

Como podéis volver a ver, y como seguiréis viendo, el número \pi sigue apareciendo en los lugares más insospechados.

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¿Sabía que…
Dic27

¿Sabía que…

…las siguientes igualdades son ciertas?

Increibles igualdades con sumas de potencias

Sacado de Futility Closet.

¿Conocéis algún otro ejemplo de este tipo?

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¿Sabía que…
Nov29

¿Sabía que…

…el número 10^{33} (mil quintillones para los amigos) es la potencia de 10 más grande conocida que puede representarse como producto de dos números que no contienen ningún cero?. En efecto:

1000000000000000000000000000000000=2^{33} \cdot 5^{33}=8589934592 \cdot 116415321826934814453125

Es claro que cualquier número de este tipo debe ser de la forma 2^x \cdot 5^x, ya que si no fuera así alguno de los factores contendría al menos un 2 y un 5 y por tanto sería múltiplo de 10, conteniendo entonces al menos un cero.

Parece ser que lo complicado es encontrar una potencia de 5 que no contenga ceros. Se sabe que 5^{58} no contiene ningún cero, pero al calcular 2^{58} vemos que contiene al menos un cero. Por tanto no nos vale.

Ya tenéis otro reto, aunque éste me parece que es sumamente difícil.

Curiosos datos sacados del libro El prodigio de los números, de Clofford A. Pickover.

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¿Sabía que…
Nov22

¿Sabía que…

…podemos encontrar series de números compuestos consecutivos tan largas como queramos?

Me explico: dado un número natural n cualquiera (sí, sí, cualquiera) podemos encontrar un conjunto de n números naturales consecutivos tal que todos ellos son compuestos. ¿Cómo? Muy sencillo:

Sabemos que n!=n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1 es divisible por 2, 3, \ldots, (n-1), n. Entonces n!+2 es divisible por 2, n!+3 es divisible por 3, … , n!+n es divisible por n. Tenemos aquí un conjunto de n-1 números naturales consecutivos que son compuestos.

Tomando (n+1)! en vez de n! obtenemos que (n+1)!+2 es divisible por 2, (n+1)!+3 es divisible por 3, … , (n+1)!+n es divisible por n y (n+1)!+(n+1) es divisible por n+1. Dado un n número natural cualquiera obtenemos así una serie de n números naturales consecutivos tal que todos ellos son compuestos.

Comentario: Con este procedimiento encontramos una serie de n números naturales consecutivos tal que todos son compuestos, pero no tiene que ser la menor posible. Por ejemplo, para n=3 la serie que encontramos es 26, 27 y 28, pero la más pequeña posible 8, 9 y 10. Aunque eso no es problema ya que lo que nos interesaba es la existencia de esa serie.

Y, como he dicho antes, n puede ser cualquier número natural, da igual lo grande que sea. Es decir, hay series de números naturales consecutivos enormemente grandes entre los cuales no hay ningún número primo. Cosas como esta pueden hacer más difícil creerse que el conjunto de números primos es infinito, pero en realidad es así. En este blog ya hemos visto dos demostraciones de este hecho: la demostración de Euclides y la demostración utilizando números de Fermat.

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¿Sabía que…

…durante los 2000 años anteriores a la aparición de Leonhard Euler sólo se conocían 3 pares de números amigos y que él solito fue capaz de encontrar nada menos que 59 pares?

Increíble el señor Leonhard Euler. Se podría dedicar un blog expresamente a sus trabajos y tendríamos artículos diarios durante muuuucho tiempo.

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¿Sabía que…
Nov08

¿Sabía que…

…podemos encontrar dos números de 9 cifras cuyas cifras son los números del 1 al 9 que cumplen que al restarlos el resultado es un número con las mismas propiedades? Aquí va:

Resta pandigital

Vía Futility Closet.

Ahora os toca a vosotros:

1.- ¿Podéis encontrar más casos de este tipo?

2.- ¿Y con otro número de cifras? Por ejemplo, podemos intentar encontrar un caso parecido con los números del 0 al 9.

A ver qué se os ocurre.

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