Todo entero positivo es suma de tres capicúas (por Javier Cilleruelo)
Feb26

Todo entero positivo es suma de tres capicúas (por Javier Cilleruelo)

Todo el que haya visitado este blog con cierta frecuencia durante los últimos años conocerá a Javier Cilleruelo, ya que su nombre ha aparecido por aquí en varias ocasiones. Para quien no lo conozca, Javier Cilleruelo es Profesor Titular del Departamento de Matemáticas de la Universidad Autónoma de Madrid y miembro del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), y ha colaborado en Gaussianos con varios artículos.

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El teorema de Mills: mucho ruido y pocas nueces
Oct05

El teorema de Mills: mucho ruido y pocas nueces

La búsqueda de funciones que generen números primos ha sido una constante en (prácticamente) toda la historia de las matemáticas. Los números primos, los «ladrillos» con los que se construyen los números naturales, han sido siempre un conjunto de números esquivo en el sentido de encontrar una expresión que los genere indefinidamente.

Sabiendo esto, encontrar una función que para todo número natural da como resultado un número primo, y que además conforme aumentamos el número natural da cada vez un primo más grande (es decir, la función es creciente), parece ciencia ficción, ¿verdad? Pues esa función existe, y no es muy difícil de definir. Y además la demostración de que siempre genera números primos es corta y relativamente sencilla. Magnífico, ¿verdad? Sí y no. En las próximas líneas veremos que en realidad las cosas no son tan bonitas como parecen.

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La circunferencia de Conway
Nov20

La circunferencia de Conway

En muchas ocasiones hemos visto que la geometría en general, y la del triángulo en particular, nos puede proporcionar resultado preciosos a la par que inesperados. Éste es el caso del que os voy a mostrar en esta entrada, que además de ser una maravilla geométrica nos da la forma de construir la que en la actualidad se conoce como circunferencia de Conway.

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Qué dice exactamente el primer teorema de incompletitud de Gödel
Oct23

Qué dice exactamente el primer teorema de incompletitud de Gödel

Hace un tiempo, sobre todo a raíz de algunos textos que leí acerca de la «aplicación» de los teoremas de incompletitud de Gödel a temas con los que no tienen ninguna relación, volvió a mi cabeza la idea de hablar sobre estos teoremas en el blog. Para ello preferí intentar contar con la colaboración de algún especialista en el tema, y casi automáticamente vino a mi mente el nombre de Gustavo Piñeiro, matemático argentino, autor junto a Guillermo Martínez del libro Gödel para Todos (editado en 2009 en Argentina y en 2010 en España y que ya os recomendé para el día del libro en 2012) y responsable del blog El Topo Lógico, dedicado a la divulgación de la matemática.

Gustavo accedió gustosamente a mi sugerencia de colaboración, y hoy, por fin, se publica el texto que escribió sobre el primer teorema de incompletitud de Gödel para Gaussianos. Espero que os aclare todas vuestras dudas sobre ello. Y si no es así ya sabéis que tenéis los comentarios de este post para plantearlas.


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Demostración visual de la relación entre media aritmética y media geométrica
Oct02

Demostración visual de la relación entre media aritmética y media geométrica

Es bien sabido que la media aritmética de dos números positivos es siempre mayor o igual que la media geométrica de los mismos, es decir:

\sqrt{x y} \leq \cfrac{x+y}{2}

Una forma sencilla de demostrarlo consiste en partir de dicha desigualdad y realizarle transformaciones correctas a la misma con el objetivo de llegar a una expresión que sepamos con seguridad que es cierta. Después, por tanto, podemos recorrer el desarrollo obtenido en sentido inverso y tendríamos demostrada la desigualdad. Veámoslo en este caso:

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Demostrando «directamente» la no numerabilidad de los números trascendentes
Ene28

Demostrando «directamente» la no numerabilidad de los números trascendentes

Que el conjunto de los números trascendentes es un conjunto no numerable es un hecho bastante conocido, y hasta diría que sencillo de demostrar. De hecho, en este mismo blog ya hemos publicado alguna demostración del mismo, aunque dicha prueba es, por decirlo de alguna manera, «indirecta» (en realidad se demuestra que el conjunto de los números algebraicos sí es numerable, por lo que el de los trascendentes no puede serlo). Hoy vamos a ver una prueba «directa» de la no numerabilidad de los trascendentes.

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