Cervezas geométricas

Introducción

Hace unos días, nuestro amigo Tito Eliatron nos contaba el siguiente chiste en su entrada Cómo sumar los naturales y no morir en el intento:

Esto es un número infinito de matemáticos que entran en un bar. El primero pide una cerveza. El segundo pide media cerveza. El tercero pide un cuarto de cerveza… Entonces el camarero dice:

– ¡Idiotas!

y les pone dos cervezas.

Este chiste, según algunos el peor chiste de matemáticas del mundo, necesitaría explicación para los no iniciados, aunque muchos de nosotros sí lo pillamos. Vamos a intentarlo.

La serie geométrica

Las progresiones aritméticas y geométricas son parte del currículo de Secundaria desde siempre, seguro que muchos de vosotros las recordáis. El caso que nos ocupa tiene que ver con estas últimas, pero no con este nombre sino con el nombre de series geométricas (progresión suele usarse cuando tenemos una cantidad finita de términos y serie cuando la cantidad es infinita, como va a ocurrir ahora).

Vamos a definir de forma rigurosa lo que es una serie geométrica:

Una serie geométrica es una expresión de la forma:

\displaystyle{\sum_{n=\Box}^{\infty} a^n}

con a \in \mathbb{R} Este número real a se denomina razón de la serie.

Es decir, dicho en plan general, la suma de todas potencias naturales de un número real.

Bueno, ¿todas? Depende de dónde empiece la serie, es decir, depende del número que aparezca en la cajita que hay debajo del símbolo de suma. Lo más habitual es encontrarse el {0}, pero puede aparecer cualquier número natural.

Para ver de forma más clara qué significa esto vamos a poner un par de ejemplos de serie geométrica:

  • Comenzando en {0}:

    \displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} a^n=1+a+a^2+a^3+a^4+ \ldots}

    Es decir, sumamos todas las potencias naturales de a (recordemos que a^0=1).

  • Comenzando en 2:

    \displaystyle{\sum_{n=2}^{\infty} a^n=a^2+a^3+a^4+ \ldots}

    En este caso sumamos todas las potencias naturales de a comenzando por la potencia a^2.

El objetivo principal de este artículo es mostraros una forma de sumar esta serie. Es decir, una forma de calcular la suma de los infinitos términos de una serie geométrica. ¿Que cómo puede ser que se puedan sumar infinitos números? Cosas del infinito, que ya sabemos que es un concepto bastante esquivo para la intuición.

Bueno, vamos al tema. Digamos que sólo podemos hablar de suma de una serie geométrica cuando el resultado de la misma sea un número real. En este tipo de serie esto solamente ocurre si y sólo si -1 < a < 1. En cualquier otro caso la serie no se puede sumar.

Inciso:

Estamos utilizando la forma tradicional y habitual de suma de series. En el post de Tito Eliatron enlazado al principio de esta entrada se comenta algo de otras formas de sumar series, y es muy posible que en Gaussianos hablemos de este tema más adelante.

Bien, vamos con la fórmula:

  • Dado a \in \mathbb{R} tal que -1 < a < 1, se tiene que:

    \displaystyle{\sum_{n=\Box}^{\infty} a^n=\cfrac{a^{\Box}}{1-a}}

    Es decir, la suma de una serie geométrica que comienza en un cierto número natural es igual a la razón elevada a dicho número natural entre uno menos esta razón.

Veamos esto con un par de ejemplos:

  • \displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \left ( \cfrac{1}{3} \right )^n=\cfrac{\textstyle{(\frac{1}{3})}^0}{1-\textstyle{\frac{1}{3}}}=\cfrac{1}{\textstyle{\frac{2}{3}}}=\cfrac{3}{2}}
  • \displaystyle{\sum_{n=2}^{\infty} \left ( \cfrac{1}{5} \right )^n=\cfrac{\textstyle{(\frac{1}{5})}^2}{1-\textstyle{\frac{1}{5}}}=\cfrac{\textstyle{\frac{1}{25}}}{\textstyle{\frac{4}{5}}}=\cfrac{1}{20}}

¿Por qué dos cervezas?

Volvamos al chiste inicial. Vamos a reproducirlo de nuevo:

Esto es un número infinito de matemáticos que entran en un bar. El primero pide una cerveza. El segundo pide media cerveza. El tercero pide un cuarto de cerveza… Entonces el camarero dice:

– ¡Idiotas!

y les pone dos cervezas.

El primero pide una cerveza, el segundo media, el tercero un cuarto, y así sucesivamente. Si suponemos infinitos matemáticos entrando a ese bar y pidiendo fracciones de cerveza siguiendo esa tendencia tendríamos que en total piden la siguiente cantidad de cervezas:

1+\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{4}+\cfrac{1}{8}+\cfrac{1}{16}+ \ldots

Es decir, la cantidad total de cervezas es la suma de todas las potencias naturales de \textstyle{\frac{1}{2}}. O lo que es lo mismo, la siguiente serie geométrica:

\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \left ( \cfrac{1}{2} \right )^n}

Aplicando ahora la fórmula comentada anteriormente obtenemos el número de cervezas que pedirían entre todos estos infinitos matemáticos:

\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \left ( \cfrac{1}{2} \right )^n=\cfrac{\textstyle{(\frac{1}{2})}^0}{1-\textstyle{\frac{1}{2}}}=\cfrac{1}{\textstyle{\frac{1}{2}}}=2}

O sea que entre todos estos matemáticos habrán pedido 2 cervezas. Por ello el camarero se adelanta y se las ofrece, ahorrándose así un tiempo infinito (que es el que habría tardado en atenderles).

¿Lo pilláis ahora?

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

23 Comentarios

  1. …y mientras el primero de los matemáticos saborea plácidamente su cerveza, observa con beneplácita superioridad al resto de los matemáticos, que tienen que apurar infinitamente rápido su parte de la otra…
     
    (Por la descripción, yo diría que el primero es Fermat)

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  2. Debe ser el camarero más rápido de la historia, capaz de atender a infinitas personas en pocos segundos.

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  3. Para cualquier informático que esté acostumbrado a trabajar en binario, esta serie geométrica debería ser evidente aunque no tuviera mucha idea de matemáticas.
     
    En binario, el primer matemático pide 1 cerveza, el segundo pide 0.1 cervezas, el tercero 0.01 cervezas, el cuarto 0.001 cervezas. La suma evidentemente es 1.111111… es decir 10, que en decimal es el número 2.

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  4. Aprovechando este post tan bueno, pongo una duda que tengo en la cabeza desde hace tiempo, a ver si alguen me la puede resolver:
    Como bien dice este post, la suma infinita numerable de \sum^\infty_{n = 0} ({1 \over 2})^n es 2, pero en cambio la suma infinita no numerable de \int_{0}^{\infty} ({1 \over 2})^x dx es {1 \over \log 2 } que es más pequeño que 2.
    ¿Cómo puede ser que una suma no numerable de números positivos sea más pequeña que una suma numerable de números positivos, si hay muchísimos más numeros en la suma no numerable?

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  5. Hola Mouri,
     
    esto ocurre siempre que se compara (equipara) una suma con una integral pero no se tiene en cuenta el “peso” que cada sumando tiene en uno y otro caso.
     
    Incorrectamente, se está intentando ver (en tu caso) que “todos los sumandos” de la serie, “están representados” en la “suma integral”.
     
    ¡Pero no es así!
     
    Si bien en la integral están presentes los sumandos 1/2, 1/4, … (como en la serie), en la “suma integral” su “peso” es infinitesimal, “teniendo menos peso” al tener que “repartirse” por los infinitos otros sumandos que en la serie no aparecen.
     
    (no se si ha quedado muy claro…)

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  6. Vaya, que si integras únicamente en aquellos valores de ‘x’ que están en la serie (existe un ‘n’ tal que An = x) entonces, la integral es ‘cero’.

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  7. Bueno, probablemente se vea mejor así:
     
    http://jose-juan.computer-mind.com/jose-juan/img/gauss/sumatorio.png
     
    Para probarlo, podemos ver cuanto suma la zona verde (aunque casi es hacer las mismas cuentas pero al revés…).
     
    Tenemos que para n=0, 1, 2, … la superfície bajo la curva 2^-x vale
     
    \int_{n}^{n+1}\frac{1}{2^{x}}dx=\allowbreak  \frac{1}{2^{n+1}\ln 2}
     
    Y por supuesto, cada barra (cada sumando de la serie inicial) vale
     
    \frac{1}{2^{n}}
     
    la diferencia entonces es
     
    \frac{1}{2^{n}}-\frac{1}{2^{n+1}\ln 2}
     
    y si sumamos todos los miembros tenemos
     
    \sum_{n=0}^{\infty }(\frac{1}{2^{n}}-\frac{1}{2^{n+1}\ln  2})=\allowbreak \allowbreak 2-\frac{1}{\ln 2}
     
    Y ahí lo tienes.

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  8. Muchas gracias josejuan, ahora si que me ha quedado claro claro del todo!

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  9. Quizás sea interesante decir (por la sencillez del argumento) una posible manera de deducir esa fórmula. Si sumamos un número finito de términos podemos decir (para k \leq N ) :
    \sum_{n=k}^{N} a^n = a^k + a^{k+1} + \cdots + a^N .  También:
    a \big(\sum_{n=k}^{N} a^n \big) = a^{k+1} + a^{k+2} + \cdots + a^{N+1}. Por lo tanto:
    (1-a) \sum_{n=k}^{N} a^n= a^k -a^{N+1} , es decir:
     \sum_{n=k}^{N} a^n = \frac{a^k -a^{N+1}}{1-a} .
    Si -1<a<1, \lim_{N \rightarrow \infty } a^{N} = 0 , de modo que esta última fracción converge a nuestra fórmula:
    \sum_{n=k}^{\infty} a^n = \lim_{N \rightarrow \infty} \sum_{n=k}^{N} a^n=\lim_{N \rightarrow \infty} \frac{a^k-a^{N+1}}{1-a}=\frac{a^k}{1-a}

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  10. jajaja, tan malo no es, y es una bonita manera de explicar el concepto de suma de una serie geométrica.

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  11. Pues al principio no entendía el chiste, pero con tu entrada me ha quedado clara la cuestión. Y el chiste tiene su gracia 😉

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  12. Debería decir un número infinito NUMERABLE de matemáticos…

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  13. Hola a todos.

    “Toda sucesión uniformemente convergente de funciones acotadas(puntualmente), es uniformemente acotada.”

    Es uno de los problemas planteados por Rudin y que además aparece en el contenido de su capitulo 7.

    ¿Qué ocurre con la sucesión formado por las funciones
    fn(x)=x^2 + 1/n con dominio en los reales positivos?

    Por completitud es uniformemente convergente. Además está acotada(puntualmente) por la función g(x)= 1 + x^2. Y sin embargo, no es una sucesión uniformemente acotada pues tiende a infinito cuando x lo hace. ¿Me pueden aclarar esta cuestión?

    Se agradece de antemano 🙂

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  14. Gracias JoseJuan, veo que confundí sucesión puntualmente acotada con funciones acotadas 😛

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  15. No hay nada peor que un chiste explicado….Pierde la gracia…

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  16. Tal vez el chiste resulta malo por el final.
    Mejor sería que el camarero les de dos cervezas y diga: “Tomen muchachos, yo conozco sus límites”

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  17. Hola. Me encanta!

    Cervezas y matemáticas. Fantástico.

    Ya que estamos con la serie geométrica…
    ¿Sabías que la serie geométrica se utiliza para calcular la cuota mensual de las hipotecas?

    Me gustó ver esta aplicación tan interesante de la serie geométrica. Además algún día te encontrarás (o te has encontrado) con este problema.

    ¡Saludos Gaussianos!

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