Cinco cosas que posiblemente no sepas sobre Pi (y varias que seguro que ya sabías)

De nuevo 14 de marzo, de nuevo estamos en el Día de Pi (por lo de que esta fecha se escribe 3-14 en notación estadounidense). Y, de nuevo, este blog le dedica una entrada a este maravilloso número.

¿Sabes mucho sobre el número Pi? Seguro que recuerdas que aparece en muchas fórmulas que viste en tu etapa académica, como en la fórmula para calcular el área de un circulo (aquí en vídeo) o en la que nos calcula el volumen de una esfera. Posiblemente sepas que Pi es un número irracional, y es probable que alguna vez hayas escuchado que también es un número trascendente (hecho que, entre otras cosas, implica que es imposible cuadrar un círculo).

Habrás oído/leído en alguna ocasión que todo está en Pi. De ello hablaron, de manera superficial, en El Hormiguero el mes pasado. Bueno, en realidad esto está por demostrar, aunque se cree firmemente que es así. Esto significaría que Pi es un número normal. Tuiteé sobre ello el día en el que se emitió aquel programa:

Si has indagado un poquito, sabrás que el número Pi es conocido por aparecer en los lugares más insospechados. Por ejemplo, aparece la probabilidad de escoger al azar dos números primos relativos (precisamente por estar relacionado con el famoso problema de Basilea). Y también hace acto de presencia en muchas sumas y productos infinitos, siendo éste el primero del que se tiene constancia.

¿Cuántos decimales de Pi sabrías recitar? ¿Dos? ¿Cinco? ¿O tal vez eres un gran calculista y recuerdas cientos de ellos? Si no eres de estos últimos y quieres aprenderte unos cuantos decimales de forma sencilla, te recuerdo esta famosísima frase que nos ayuda a recordar las primeras 20 cifras de Pi contando el número de letras de cada palabra:

Soy y seré a todos definible, mi nombre tengo que daros, cociente diametral siempre inmedible soy de los redondos aros.

¿Que quieres algo parecido pero para muchos más decimales? Pues échale un vistazo a Cadaeic Cadenza. Spoiler: es bestial.

Y puede ser que alguna vez hayas escuchado cómo suena Pi, pero de lo que estoy convencido es de que lo has visto en la identidad de Euler:

Pero es muy probable que no conozcas ninguna de las cinco apariciones del número Pi que te traigo a continuación. De todas he hablado en este blog, pero son tan poco conocidas que merece la pena recordarlas y recrearse en ellas:

  • Sabemos que Pi es una constante (siempre vale lo mismo), y que está íntimamente relacionada con el círculo. Pero antes de que apareciese esa letra, \pi, que da nombre a esa constante, hubo que demostrar que en realidad ahí había una constante. La cuestión es la siguiente: ¿quién lo demostró? ¿Cómo lo hizo? De ello hablamos en ¿Quién fue el primero que probó que la constante del círculo es constante?. Y, por lo que contaba la fuente de la que sacamos gran parte de la información, no fue nada fácil seguirle la pista histórica al tema.
  • El número Pi aparece en el triángulo de Pascal. Es cierto que no es una aparición «directa», sino que hay que hacer alguna cuentecita, pero estar está. De ello hablé en Cómo encontrar el número Pi en el triángulo de Pascal. ¿Que no sabes qué es el triángulo de Pascal? Mira la siguiente imagen:

    \begin{matrix} 1 \\ 1 \quad 1 \\ 1 \quad 2 \quad 1 \\ 1 \quad 3 \quad 3 \quad 1 \\ 1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1 \\ 1 \quad 5 \quad 10 \quad 10 \quad 5 \quad 1 \\ 1 \quad 6 \quad 15 \quad 20 \quad 15 \quad 6 \quad 1 \\ 1 \quad 7 \quad 21 \quad 35 \quad 35 \quad 21 \quad 7 \quad 1 \\ 1 \quad 8 \quad 28 \quad 56 \quad 70 \quad 56 \quad 28 \quad 8 \quad 1 \\ 1 \quad 9 \quad 36 \quad 84 \quad 126 \quad 126 \quad 84 \quad 36 \quad 9 \quad 1 \\ 1 \quad 10 \quad 45 \quad 120 \quad 210 \quad 252 \quad 210 \quad 120 \quad 45 \quad 10 \quad 1 \\ 1 \quad 11 \quad 55 \quad 165 \quad 330 \quad 462 \quad 462 \quad 330 \quad 165 \quad 55 \quad 11 \quad 1 \\ 1 \quad 12 \quad 66 \quad 220 \quad 495 \quad 792 \quad 924 \quad 792 \quad 495 \quad 220 \quad 66 \quad 12 \quad 1 \end{matrix}

  • ¿Has oído hablar del problema de los cuatro cuatros? Es un conocido entretenimiento/problema por el que hemos pasado muchos amantes de la matemática recreativa. Bien, pues se puede expresar Pi con cuatro cuatros, aunque hay que hacer un poco de trampa (pista: \Gamma). Puedes ver cómo hacerlo en Pi con cuatro cuatros.
  • Sorprendentemente, hay una estrecha relación entre el número Pi y el conjunto de Mandelbrot. Y digo sorprendentemente porque, teniendo en cuenta cómo se construye este conjunto de Mandelbrot, no hay nada que nos haga siquiera sospechar sobre esta relación (la manía de Pi de aparecer en cualquier sitio). En Pi y el conjunto de Mandelbrot hablamos con detalle de esa relación.

    Por cierto, sabes qué es el conjunto de Mandelbrot, ¿verdad? Si, éste:

  • Hemos hablado antes de la aparición de Pi en muchas sumas y muchos productos infinitos. Pero de todas las que podríamos citar aquí os voy a dejar la que más me gusta: la suma infinita que relaciona Pi con una variante de la serie armónica. Sí, lo sé, la serie armónica es divergente, pero si hacemos algunos pequeños cambios nos acaba dando Pi:

    \pi=1+\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{4}-\cfrac{1}{5}+\cfrac{1}{6}+\cfrac{1}{7}+\cfrac{1}{8}+\cfrac{1}{9}-\cfrac{1}{10}+\cfrac{1}{11}+\cfrac{1}{12}-\cfrac{1}{13}+ \ldots

    ¿Dónde hay que colocar esos signos «menos» para que nos acabe dando Pi? Echa un vistazo a El desarrollo más bello de Pi como suma infinita y lo entenderás.


Os dejo el Felíz Día de Pi 2018 en el que podéis encontrar los enlaces a otros artículos publicados un 14 de marzo en Gaussianos. Y también os recuerdo que, como no podía ser de otra forma, Pi tiene su categoría propia en este blog.

Y para finalizar, os propongo que nos dejéis un comentario con alguna otra aparición curiosa o propiedad interesante del número Pi. Nos servirá para ampliar nuestros conocimientos y, por qué no, como idea para próximos artículos. Muchas gracias por adelantado.


La imagen de las cifras de Pi la he tomado de aquí, y la de la identidad de Euler de aquí. La foto de los dados de Pi es de cosecha propia.

Author: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

9 Comments

  1. No olvidemos la fórmula Bailey-Borwein-Pluff que nos da los dígitos de pi en base 16, pero quisiera saber si ya hay una fórmula para la base 10 o no.

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  2. ¿Cómo sabemos que Pi tiene infinitos decimales?

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  3. Hola a todos.
    He estudiado Ingeniería en Sistemas, y obviamente mi fuerte son los «sistemas», y no la «matematica». Pero siendo experto en sistemas de alta complejidad, no me ha quedado otra alternativa mas que -durante el desarrollo de sistemas-, incursionar en el campo matemático.
    Dicho ello, en el año 1996 mientras desarrollaba un sistema de análisis para CETYA S.A. es que hube incursionado en el tema:
    Un aspecto aparejado a las propiedades de PI, se refiere en la publicación casualmente a la imposibilidad de CUADRAR EL CIRCULO. Ahora bien… una pregunta : existe alguna FÓRMULA que logre cuadrar la circunferencia con error?. Por ejemplo una fórmula que cuadre con Ex10-9. O alguna que cuadre al menos con error a la menos 5?. Y me puedo estirar a preguntar por si al menos existe una fórmula que logre cuadrar con error a la menos 4?. (O sea una fórmula con precisión a la menos 3).
    Con error a la menos 4, yo ya lo he logrado.
    Mas allá de la imposibilidad de cuadrar con absoluta precisición, es que EXISTEN FORMULAS ?. Me refiero a fórmulas que incluyan cualquier dato de una circunfererencia (dato como por ejemplo podría ser el radio). Y que esa fórmula recibiendo el dato radio, me devuelva algún dato del cuadrado? (como por ejemplo el lado?). Dato con el cual podríase calcular la superficie del cuadrado, y por ende entonces, se habría logrado cuadrar.
    POR FAVOR, SI ALGUIEN CONOCE NO LA FÓRMULA EN SI, SINO LA SIMPLE EXISTENCIA DE UNA FÓRMULA, favor de ponerme en conocimiento. Muchas gracias.
    Así las cosas, mi algoritmo (con base en geometría analítica), logra crear una fórmula, que calcula la cuadratura con error a la menos 4, y que posee asombrosas particularidades :
    1- La fórmula de la cuadratura proviene de un algoritmo analítico.
    2- El algoritmo ha logrado crear varias fórmulas, todas de absoluta precisión (con excepción a las de por un lado la cuadratura y por ende a PI; y por otro lado E (Euler) y el GoldenNumber y cosas semejantes.
    3- Con excepción de las mencionadas, y con la mas clara precisión absoluta matemática, no ha logrado el algoritmo reproducir una fórmula para el GoldenNumber -al menos no hasta ahora-, pero si lo ha hecho para el SilverNumber. 4- Efectivamente el MISMO ALGORITMO que crea fórmulas con error Ex10-4 para la cuadratura (y Pi E GoldemNumber entre otras cosas), también logra crear fórmulas de precisión absoluta (como por ejemplo entre otras, la del SilverNumber).
    5- Que todas las fórmulas creadas por el algoritmo, tanto las de precisión absoluta como las de precisión con error, son homogéneas versátiles y escalables. Son digamos casi la misma fórmula, con diferencia de un número o un operador. O bien las misma fórmula, pero lo que estaba sumando pasa restando, o viseversa. O bien cosas semejantes.
    6- Que el algoritmo (siguiendo preceptos de homogeneidad del punto anterior), logra crear fórmulas de absoluta precisión además del SilverNumber(entre otras), fórmulas que calculan distantes temas matemáticos, interconectándolos de forma directa, temas cuales lo pueden ser teorema de Descartes, diagonal del cuadrado, pseudo valor del mínimo valor que puede adoptar Pi en la esférica (tema el cual ya fue abordado en gaussianos).
    7- Que en definitiva el mismo algoritmo logra crear fórmulas homogéneas entre si, que logran calcular interconectando al mismos tiempo, temas tales los mencionados :PI, E, GOLDEN, SILVER, PSEUDOPI, DESCARTES, DIAGONAL DEL CUADRADO, ANGULOS RELEVANTES DE CIRCUNFERENCIA GONIOMETRICA, etc…
    8- Que con respecto a la fórmula de la cuadratura Ex10-4, se puede decir que posee asombrosas características, dos de ellas a saber:
    8-A : rápidamente con un sencillo agregado posee Ex10-10 (O sea que poseo una fórmula con precisión a la menos 9).
    8-B : que cambiando mínimamente el cuarto decimal decimal de PI (y obvio que de allí en adelante todos los decimales cambian), se prosigue cambiando todos los decimales, hasta que el algoritmo logra cuadrar el círculo, con absoluta precisión. Y EL VALOR QUE SE ADQUIERE (MIENTRAS SE CAMBIAN UNO A UNO LOS DECIMALES DE PI ,PARA LOGRAR ABSOLUTA PRECISIÓN), RESULTA SER UN NUMERO (3.141…) QUE EN SUS PRIMERAS 9 POSICIONES DECIMALES, EL VALOR DE PI POSEE TRIPLE PALINDROMIA (o sea 3 números consecutivos capicuas). Y QUE CONTINUANDO CON TAN SOLO UN DIGITO MAS, POSEE CUÁDRUPLE PALINDROMIA (o sea que en sus primeros 10 decimales, PI posee 4 capicuas).
    ////// En definitiva, vuelvo a hacer la pregunta : Existen fórmulas de la cuadratura?.
    Muchas gracias por vuestra atención.

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    • La cuadratura del círculo, se refiere a la imposibilidad de trazar un círculo con el mismo área que un cuadrado, UTILIZANDO SÓLO COMPÁS Y REGLA o escuadra no graduada. Utilizando el cálculo es trivial.
      \pi \cdot r^2=l^2 \to l=\sqrt{\pi}r

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  4. Esto es para FerMach, publique su fórmula y todo lo relativo a ella. Gracias por anticipado

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  5. Estimado Luis, soy FerMach: muchas gracias por aclarar el tema con respecto a la imposibilidad, con ciertas limitaciones en los elementos utilizados. Y que además se trata de limitación geométrica, no aritmética. Pero yo me refería a la aritmética, y con ciertas condiciones. Muchas gracias por el aporte de la fórmula, pero no veo cómo (con la fórmula de la cuadratura publicada y/o con variaciones de la misma) se pueda resolver -por ejemplo-, el teorema de Descartes, o el mínimo pseudo valor de PI en la esférica, o el SilverNumber, o la diagonal del cuadrado.
    Muchísimas gracias por tu atención.

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  6. Estimado Guadis, soy FerMach: Muchas gracias por tu interés. Resulta que -por ahora-, no puedo publicar las fórmulas debido a que ellas (que calculan el peso y secciones de los conductores eléctricos), pertenecen a un proyecto en el ministerio de ciencia y tecnología el cual al parecer me acaban de rebotar, cuando estuve reunido con máxima autoridad de electricidad del IRAM (ing. Bruno Doeyo), quien me expresó : «Nosotros los argentinos no podemos hacer nada, ya que no calculamos ni publicamos normas, y somos simples representantes de ISO.» Así pues, siendo que normas internacionales de conductores electricos, rezan claramente «peso aproximado», «sección nominal» (por lo que resulta que no lo pueden calcular), mi proyecto sigue abierto y veré si me apoya algún otro gobierno de algún otro país. Acepto sugerencias. Muchas gracias. PD: Acepto a quien quiera sumarse al proyecto.

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Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

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