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Construyendo un cubo

Joan nos envía este problema que al parecer se planteó en las Oposiciones de 2008 en la Comunidad de Madrid. Nos pide ayuda para una amiga suya. Ahí va:

Con dados de 1 cm de arista se construye un cubo sólido de 4cm de arista y se pinta de negro toda la superficie del cubo así construido. Se deshace el cubo y cogiendo los dados al azar sin mirarlos se construye de nuevo. Calcular la probabilidad de que en el nuevo cubo figure, al menos, una cara blanca.

Vamos a por él.