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¿Cuántas sucesiones CuCu existen?

Un bonito (y sencillo) ejercicio relacionado con el principio de inducción consiste en demostrar que el cuadrado de la suma de cualquier conjunto de enteros positivos consecutivos que comience en el 1 es igual a la suma de los cubos de dichos números. Es decir, que para todo n \in \mathbb{N} se cumple que

(1+2+ \ldots +n)^2=1^3+2^3+ \ldots + n^3

Podéis intentar resolverlo vosotros mismos, aunque si os atragantáis con él tenéis la resolución del mismo con inducción en este post [1] donde, además, se da un procedimiento para generar conjuntos finitos con esta propiedad, a los que cariñosamente llamé conjuntos CuCu (de cuadrados-cubos).

El caso es que es interesante esta propiedad de que el cuadrado de la suma sea igual a la suma de los cubos, por lo que no está de más preguntarse qué otras colecciones de números la cumplen. Manos a la obra entonces.

La cuestión que queremos resolver es la siguiente:

¿Cuántas sucesiones a(n) de enteros positivos cumplen que

(a(1)+a(2)+ \ldots +a(n))^2=a(1)^3+a(2)^3+ \ldots + a(n)^3

para todo n \in \mathbb{N}?

Es decir, ¿cuántas sucesiones CuCu existen? Esta pregunta fue planteada por nuestro amigo Antonio Rojas en este tuit [2] hace unos días. Gracias a él tenemos hoy aquí esta entrada.

Vamos con nuestro problema. Está claro, por lo comentado al principio, que la sucesión a(n)=n cumple dicha propiedad, por lo que es una de las soluciones. La cosa es demostrar que es la única o encontrar qué otras sucesiones CuCu hay.

Para ello vamos a partir de la igualdad

(a(1)+a(2)+ \ldots +a(n))^2=a(1)^3+a(2)^3+ \ldots + a(n)^3

y vamos a ver qué forma debe tener a(n) si esa igualdad es cierta. La demostración por inducción es, posiblemente, la primera opción que pasa por nuestra cabeza. De este método de demostración nosotros vamos a utilizar únicamente el primer paso, el que corresponde a n=1:

a(1)^2=a(1)^3

por lo que, como a(1) > 0, nos asegura (simplificando) que a(1)=1.

Y ahora, en vez de continuar con inducción, vamos a usar la siguiente propiedad:

Si x(n)=y(n), para todo n \in \mathbb{N}, entonces

x(n)-x(n-1)=y(n)-y(n-1)

para todo n \in \mathbb{N}.

Sea x(n)=(a(1)+a(2)+ \ldots +a(n))^2 y sea y(n)=a(1)^3+a(2)^3+ \ldots + a(n)^3. Como partimos de que son iguales se cumplirá la propiedad mencionada ahora mismo. Tenemos que

\begin{matrix} x(n)-x(n-1)=(a(1)+a(2)+ \ldots +a(n))^2-(a(1)+a(2)+ \ldots +a(n-1))^2 = \\ \\ =(a(1)+a(2)+ \ldots +a(n-1) +a(n))^2-(a(1)+a(2)+ \ldots +a(n-1))^2= \\ \\ = [\mbox{Cuadrado de una suma}]= \\ \\ =(a(1)+a(2)+ \ldots +a(n-1))^2+a(n)^2+2(a(1)+a(2)+ \ldots +a(n-1)) \cdot a(n)- \\ \\ -(a(1)+a(2)+ \ldots +a(n-1))^2= \\ \\ = a(n)^2+2(a(1)+a(2)+ \ldots +a(n-1)) \cdot a(n) \end{matrix}

Por otro lado tenemos lo siguiente:

\begin{matrix} y(n)-y(n-1)=a(1)^3+a(2)^3+ \ldots + a(n)^3- \\ \\ -(a(1)^3+a(2)^3+ \ldots + a(n-1)^3)=a(n)^3 \end{matrix}

Igualando ambos resultados obtenemos lo siguiente:

a(n)^2+2(a(1)+a(2)+ \ldots +a(n-1)) \cdot a(n)=a(n)^3

Sacando factor común a(n) en el término de la izquierda y simplificando tenemos que

a(n)+2(a(1)+a(2)+ \ldots +a(n-1))=a(n)^2

Aplicamos ahora el mismo proceso a esta igualdad. Sean

R(n)=2(a(1)+a(2)+ \ldots +a(n-1))+a(n)

y

S(n)=a(n)^2

Como R(n)=S(n), entonces R(n)-R(n-1)=S(n)-S(n-1). Calculemos estas dos expresiones:

\begin{matrix} R(n)-R(n-1)=2(a(1)+a(2)+ \ldots +a(n-1))+a(n)- \\ \\ -(2(a(1)+a(2)+ \ldots +a(n-2))+a(n-1))=\ldots=a(n)+a(n-1) \end{matrix}

y

S(n)-S(n-1)=a(n)^2-a(n-1)^2

Tenemos entonces la siguiente igualdad:

a(n)+a(n-1)=a(n)^2-a(n-1)^2

Pero el segundo término es una diferencia de cuadrados, por lo que se puede expresar como suma por diferencia. Quedaría:

a(n)+a(n-1)=(a(n)+a(n-1)) \cdot (a(n)-a(n-1))

Y simplificando nos queda lo siguiente:

a(n)-a(n-1)=1 \rightarrow a(n)=a(n-1)+1

y esto se cumple para todo n \in \mathbb{N} En particular para n=2, de donde obtenemos que a(2)=a(1)+1. Pero sabíamos que a(1)=1, por lo que nos queda que a(2)=2. Pero entonces de a(3)=a(2)+1 obtenemos que a(3)=3. Y siguiendo con este proceso llegamos a que, obligatoriamente, debe ser a(n)=n, para todo n \in \mathbb{N}.

Por tanto, la única sucesión CuCu de números enteros positivos es a(n)=n, para todo n \in \mathbb{N}. Una propiedad tan particular no podía cumplirla una sucesión cualquiera, tenía que pertenecer a una sucesión también muy particular.


Como comentario final, es posible que en este caso concreto muchos de vosotros veáis más sencillo resolver el ejercicio con inducción en vez de seguir el camino que hemos seguido aquí. Me parecería razonable, pero nunca está de más conocer nuevos “trucos” que podemos usar al intentar “hacer magia” con las demostraciones. Creo que por ello esta entrada tiene el interés suficiente como para aparecer en este blog.


Esta entrada es mi segunda aportación a la Edición 4.1231 [3] del Carnaval de Matemáticas [4], que en esta ocasión organiza Joaquín desde Matemáticas interactivas y manipulativas [5].