Desafíos GaussianosyGuijarro – Desafío nº 7: “Una especial colocación”

Hoy os traigo el séptimo desafío de la serie Desafíos GaussianosyGuijarro (GyG), de Gaussianos y Libros Guijarro. En esta ocasión se trata de un problema bastante sencillito que propone Juan Miguel Ribera Puchades, estudiante de doctorado en análisis funcional en la Universidad Politécnica de Valencia y profesor de EstalmatCV y de preparación de olimpiadas matemáticas en Valencia, que ya colaboró en Gaussianos con el artículo Pi no siempre vale 3,141592…. El problema en cuestión se titula Una especial colocación y su enunciado es el siguiente:

Tenemos a 10 niños con camisetas numeradas del 0 al 9 sin repetición jugando en el patio cuando llega la profesora y les propone un juego. Dicho juego consiste en que se despongan en forma de circunferencia cumpliendo que tiene que haber entre cada dos de ellos colocados consecutivamente una diferencia numérica de exactamente 3, 4 ó 5. ¿Es posible que logren colocarse antes de que acabe el recreo? ¿Cuál sería la colocación en ese caso?

Como siempre se pide tanto la solución del problema como el razonamiento que ha llevado a la misma. Las respuestas deben enviarse antes de que termine el domingo 21 de octubre de 2012 a la dirección de correo electrónico desafiosgyg (arroba) gmail (punto) com.

El premio para el ganador de este desafío será el libro El rescoldo, de Joaquín Leguina. Os dejo la descripción que aparece en Libros Guijarro:

El protagonista es un precoz talento aragonés, obsesionado por el Teorema de Fermat, que acude a la Universidad de Cambridge, el núcleo principal de la creación matemática en 1920. Allí contacta con los mejores especialistas en teoría de números, lo cual da ocasión a elucubraciones sobre hechos y teorías matemáticas. Al fondo, el ambiente de la sociedad española desde comienzos del siglo XX hasta la Guerra Civil. ¿Se deben avivar las llamas de esas vidas secretas de las que sólo permanece un pequeño rescoldo? Francisca Vió fue una mujer rompedora que decidió vivir sus pasiones sin cortapisas. Casada con su primo Antonio Vió -un matemático con dudas sobre su orientación sexual-, supo hacer compatible ese amor con el que sintió por Germinal Ors, un obrero anarquista. Pero en 1936 la guerra terminó bruscamente con sus sueños de libertad. Dada por desaparecida tras la contienda junto con su amante, su recuerdo se hunde en el olvido. ¿Pudo sobrevivir Francisca bajo una nueva identidad? Ésa es la posibilidad que se abre ante los ojos de su nieto Adolfo, que a la vez que descubre que sus abuelos tuvieron una vida extraordinaria, se debate entre la necesidad de conocer sus raíces y el daño que puede causar a su familia exponer a la luz los secretos que todos decidieron enterrar. La nueva novela de Joaquín Leguina nos habla de una historia sepultada por la guerra civil en la que se funden el amor y la política. Un gran paso adelante en su carrera literaria que le muestra en la plena madurez de su talento.

Que se os dé bien.


Recordad que en principio los comentarios están abiertos para que habléis sobre el problema y, si acaso, deis alguna ayuda, pero nada más. Por favor, no publiquéis la solución, dejad que la gente se divierta con el problema. Gracias.


Sexta aportación de Gaussianos a la Edición 3,141592 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza ZTFNews.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

55 Comentarios

  1. La solución mas formal al problema es la siguiente:

    Carlitos: Que plasta, nos va a dejar sin recreo.

    Susanita: Empezemos por mi número

    Mafalda: ¿Si lo hacemos hoy no hay sopa para comer?

    Y ahora, siento t = tiempo de recreo expresado en minutos, jugaron t-1 minutos.

    50 seg. de explicación de la profesora (a la que no entendieron la prueba) y 10 seg. para encontrar una solución y ponerse rápidamente a jugar (que estamos en el recreo)

    P.D. me ha pasado lo mismo, no entiendo la pregunta y he encontrado una solución.

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  2. ¿Cual es la diferencia numérica entre 1 y 2? => 1
    ¿Y entre 2 y 1? No sé si 1 ó 9

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  3. Obviamente, Juanjo, la diferencia debe considerarse en valor absoluto

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  4. Así es mas difícil. Si es 9 es muy fácil.

    De todas maneras me mantengo en que los niños lo encontraron enseguida

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  5. A ver si lo entiendo. Si los niños se colocan así:

    -2-5-3-9-7-4-0-1-8-6- (y el 6 conectado con el 2)

    las diferencias son:

    -3-2-6-2-3-4-1-7-2-4-

    y esas diferencias deben ser todas 3, 4 o 5.

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  6. vaya, meti la pata, crei que habia 9 ninyos, sin el 0, claro, supongo que de tanto discutir si el 0 es natural o no… parece que mi subconsciente tiene claro este punto. Como se le puede hacer llevar a un ninyo una camiseta con un cero???? pobrecito… quien ha visto un jugador de futbol con el cero?:
    http://mx.answers.yahoo.com/question/index?qid=20110811110546AA9nG9Q

    Dejare de llorar y me pondre manos a la obra! Asi el desafio queda doblemente entrenido!

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  7. ¿Se puede?

    Entiendo que sí, pero tengo una duda. Si el 0,1 y el 8,9 solo pueden ser “acompañados” por el 3,4,5 y 4,5,6 respectivamente, ¿no son 4 números insuficientes para “rodear” a otros 4? Es decir siempre me falta uno para cerrar el círculo, por más vueltas que le dé.

    Otra cuestión ¿existe manera analítica para resolverlo? O es prueba-error aunque se saquen algunos datos como número de posibles “acompañantes” y quienes son.

    Gracias por entender mi torpeza.

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  8. Edito…..que mal, quise decir, 0,8 y 1,9 respectivamente.

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  9. Nicolás, solamente se hacen envíos a España y Portugal. Si no puedes recibir el premio en unos de estos dos países no podrás recibir el premio.

    Saludos.

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  10. Hola buenas noches,

    Recién leo este nuevo desafío, el 7, ¡desde Venezuela!

    Por lo visto están mandando intentos de solución (no sé si lo son porque no me he puesto a tratar de resolver el desafío todavía)

    Hubiera agradecido que en el sexto desafío se mencionara esta norma, que no aparecía:

    “gaussianos | 1 de October de 2012 | 17:41
    Nicolás, solamente se hacen envíos a España y Portugal. Si no puedes recibir el premio en unos de estos dos países no podrás recibir el premio.

    Saludos.”

    Por lo demás, intentaré enriquecerme buscando que tal me va tratando de hallar una solución a este desafío y, si puede darse el caso y consigo respuesta, que la misma sea destacada.

    Un abrazo a todos.
    Atte.
    Ing. Sinuhé Ancelmo

    PD: de mi curso de combinatoria en la Universidad, recuerdo que todas las disposiciones posibles de n elementos en una configuración circular es de
    (n-1)! = n!/n (n > 0) Usando principio del Pastor y Principio Multiplicativo de Teoría Combinatoria. Yo no sé si esto ayude, pero por los datos del problema, si son niños no talentosos para las matemáticas, a los cuales se les ocurra una solución analítica y empiecen a usar ensayo y error probando todas las configuraciones, podrían llegar a 9! = (10-1)! intentos.

    ¡Ojo! No he dicho que esa sea mi solución, sólo lo primero que me vino a la mente al leer el problema.

    Nótese que 9! = 9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 362880. Así, a lo mejor se les va el recreo. Pero no sé si tenga que ser así!!

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  11. Pedro Galán, has dicho demasiado… pero bueno que cada uno tome sus conclusiones.

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  12. Diamond esa norma aparecía en el post mencionado, más no la había leído…

    Espero mi comentario sobre cómo contar el total de disposiciones en forma circular no haya dañado este desafío…

    Me preguntaba yo ayer, buscando configuraciones que cumplieran la condición pedida en el problema: y si la solución fuera que los niños con ese juego nunca salen antes de que se acabe el recreo porque no hay disposición que cumpla lo pedido? Es sólo una elucubración, luego de probar tres intentos y ver como un “patrón de no cumplimiento”. Solamente una elucubración…

    Sigo trabajando en buscar solución a este desafío y entretenerme con él…

    Saludos.

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  13. Una configuración que falla:

    0-3-7-2-5-9-4-8-1

    0+3=3 (Diferencia = 3)

    3+4=7 (Diferencia = 4)

    7-5=2 (Diferencia = 5)

    2+3=5 (Diferencia = 3)

    5+4=9 (Diferencia = 4)

    9-5=4 (Diferencia = 5)

    4+4=8 (Diferencia = 4)

    8-7=1 ¡FALLA! (Diferencia = 7)

    1-1=0 ¡FALLA! (Diferencia = 1)

    Habrá una razón general de falla no sólo para esta configuración sino para cualquier intento?

    Estoy aún buscando solución al prolema, si la solución es que existe configuración, o bien que no existe.

    ¿Ayudará pensar en Z_{10}?

    Bueno… en todo caso ya el amigo Mmonchi parece haber dado con una respuesta que aclararía…

    Saludos.

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  14. La solución la dí en broma en mi primera aportación.

    Otra cosa es la demostración formal, que ocupa escasas líneas y tiene un componente que se encuentra en este blog, pero que si lo marco es como escribir la solución

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  15. Sinuhé, la solución que he enviado es, como poco, discutible… 😉

    Aunque a mí me gusta.

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  16. Diamond, si crees que he hablado de más por favor elimina el comentario.

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  17. Es imposible colocar los niños de esa forma, tengo una demostración maravillosa pero no cabe en el margen de este libro, jajaja
    Miren, serio, es imposible colocar los niños de esa forma, más tarde pongo si quieren una demostración, solo que aún no la he escrito bien formal.

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  18. Leandro W. Osorio

    En este tipo de desafios no se puede escribir la solución ni su demostración.

    Solo se deben aclarar dudas sobre el enunciado (y pistas que no den la solución de manera inmediata como mucho)

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  19. Leandro W. Osorio, como te ha comentado Juanjo Escribano en estos desafíos no debe escribirse aquí la solución ya que forman parte de un concurso. Te agradecería que no escribieras un comentario con la solución, ya que si es así me veré obligado a borrar tu comentario. Gracias.

    Saludos.

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  20. ¿Cuáles son los criterios para destacar una respuesta (solución) correcta enviada, en este concurso? No los criterios para elegir ganador, sino para resaltar los nombres de personas que han enviado respuestas correctas, una vez finalice el concurso y se dé a conocer el ganador y la solución…

    Gracias. Es para ir conociendo cabalmente el funcionamiento de estos desafíos…

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  21. Sinuhé, no hay criterios fijos para ello. Simplemente se resaltan las soluciones que quienes proponen los desafíos y yo vemos más interesantes, ya sea porque son originales, novedosas, porque generalizan el problema o por alguna otra razón.

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  22. Gracias por la respuesta Diamond.

    Ojalá, en algún desafío que yo pueda enviar una solución que reúna esos criterios no fijos (y que encajen para el momento), la misma pueda ser destacada.

    Mientras tanto, tocará seguirme esmerando.

    Saludos.

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  23. Luego de esbozar mi posible respuesta a este desafío y aún trabajando en ella y en su formalización, me acordé del problema del historia del historiador Josefo (que aunque no es el mismo, tiene que ver con disponer individuos cumpliendo con cierta condición).

    Aquí les dejo el mismo, como anécdota curiosa, junto a otras notas del conocido Malba Tahan.

    http://www.librosmaravillosos.com/matematicadivertidaycuriosa/seccion04.html

    Saludos.

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  24. La configuración que envié como ejemplo de falla 0-3-7-2-5-9-4-8-1, no es tal, porque tiene nueve etiquetas y no diez.

    Disculpen.

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  25. Pues bien, buenos días amigos.

    Hasta el día de hoy, y con la frase en la mente de que este desafío es “bastante sencillito”, traté de hacer todo lo posible para encontrar la colocación con las condiciones pedidas, si la hubiere (o las hubiere).

    Estuve pendiente de los comentarios por acá…

    He leído lo referente a la solución comentado por el amigo Moebius, y recordé que en un documental mencionaban que, hasta cierta edad, los niños tenían una capacidad que podía ser catalogada como genial (aquí en link de dicho documental http://www.youtube.com/watch?v=-1Y9OqSJKCc) y me gustaría conocer la opinión del profesor Diamond al respecto.

    También comento que en este acertijo (http://www.juegosdelogica.com/solucion_acertijo_de_einstein.htm), tal vez conocido, la hermanita (12 años) de una amiga participó en la solución.

    Mi reflexión es que los niños se sienten más cómodos usando un lenguaje informal, y que en efecto tienen una capacidad poco pulida, pero bastante pura y poco trabada.

    Hoy, casualmente, me dispongo a empezar a dictar un curso (de un semestre) llamado Matemática Preuniversitaria (dirigido a un salón donde la edad moda es 17 años), en el cual, los tópicos son bastante directos y normalmente no se pide que el alumno recurra a su creatividad: 1) Expresiones Algebraicas; 2) Radicación; 3) Ecuaciones; 4) Sistemas de Ecuaciones. Y me interesa, transmitirles lo que sé y guiar y motivar a los talentos que existan en el aula.

    Me llama la atención que mi camino por esta ciencia ha sido más que todo ciñendome al rigor, y recurriendo a las técnicas como Reducción al Absurdo, entre otras. Sin embargo, no me resulta frecuente encontrar soluciones creativas para casos como el acertijo de Einstein, y en este caso (desafío 7), procederé a copiar hasta donde pude llegar (y espero no “estropear” el camino de nadie que aún esté por enviar su respuesta).

    Como docente iniciándome, me he tomando un tiempo para comentar acá, con el objeto de retroalimentarme con sus comentarios.

    Copio lo referido al desafío 7 y hasta aquí mi participación

    “Razoné que se podía analizar las parejas válidas, es decir, al ubicar dos alumnos en el círculo formado, cuales podían ser sus números, vistos de izquierda a derecha, como un par ordenado. Hallados estos pares ordenados se podía inspeccionar (muy tedioso por cierto) todas las cadenas a formar con dichos pares ordenados, que contuvieran 5 pares ordenados. Ninguna componente de los pares ordenados podía repetirse. Si todas las inspecciones ocasionan repitencia, no hay solución. Si hay alguna cadena que no tenga repitencia alguna de componente para cualquier par ordenado, entonces hay solución. Falta decir que el componente y del último par ordenado es el fin de la disposición en forma de circunferencia, y que el primer componente x es el inicio de la misma. Las componentes una tras otra forman los números que tienen los niños en sus franelas, así:

    (0,5)(9,4)(8,3)(7,2)(6,3) No — Repite el 3.

    Pero esa disposición no es posible porque repite el 3. Ahí el círculo inicia en 0 y termina en 3. 3 y 0 ‘se dan la mano’

    Así, otra disposición imposible sería: (0,5)(9,6)(3,8)(4,7)(2,5) No — Repite el 5.

    Bien, estos fueron los pares ordenados válidos que encontré:

    (0, 5) (4,9) (4,1) (8,3)

    (0, 4) (4,8) (4,0) (8,4)

    (0, 3) (4,7) (8,5)

    (1,6) (5,9) (5,2) (9,4)

    (1,5) (5,8) (5,1) (9,5)

    (1,4) (5,0) (9,6)

    (2,7) (6,9) (6,3)

    (2,6) (6,2)

    (2,5) (6,1)

    (3,8) (3,0) (7,2)

    (3,7) (7,3)

    (3,6) (7,4)

    No completo mi análisis, porque me parece inviable la forma en que abordo el problema. Así que como no tendré más tiempo de pensar en el, me rindo, y me dispongo a ver la solución o previa de solución de Nuria y su hija de 10 años

    Buen día, muchas gracias por el espacio para expresarme, y saludos.

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  26. No sé si vi bien en el video de Moebius, pero había una etiqueta con el número 10. Las niñas hicieron un replanteamiento equivalente del problema inicial?? Y hay como una undécima ficha tirada arriba y a la izquierda. Me intriga como será la solución de las niñas… Tendré que esperar al 21 de este mes, o luego…

    Le he pedido a mi mamá (quien si está usando sus lentes apropiados) que vea los números de las fichas en el video porque yo, de hecho, tengo miopía y astigmatismo, y no estoy usando los lentes (para estar seguro), en serio.

    Un saludo.

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  27. Sinahú

    No eres el único con problemas de lentes. ja ja

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  28. Por cierto, me preguntaba prof. Diamond, me preguntaba yo, en mi proceso de enseñanza, por qué hay gente que ve las soluciones, razona; pero se tropieza y encuentra árido el lenguaje matemático, que no busca más que eliminar la ambigüedad (no obstante, Bertrand Russel mencionó una vez que aún las gramáticas podían presentar ambigüedades).

    Lanzo esta pregunta, tendremos los docentes que encontrar una forma de motivar a la gente talentosa a la cual no le gusta la Matemática, a motivarse por esta y expresar sus ideas, haciéndoles más llevadero su transitar por el lenguaje simbólico de esta ciencia exacta.

    Saludos, y muchas gracias de antemano.

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  29. Sinuhé, tu análisis si es viable, aunque un poco tedioso.

    De hecho, aprovechando un rato perdido que tenía en vuelo, cogí lápiz y papel, y como el que se entretiene haciendo un sudoku, repasé todas las configuraciones posibles, partiendo de un número cualquiera y desarrollando en árbol todas las subsiguientes posibilidades válidas con las restricciones del enunciado.
    No son tantas, en 20 o 30 minutos las tenía todas.
    Por supuesto las combinaciones de 10 elementos tomados de 10 en 10 y teniendo en cuenta que no importa la rotación ni el sentido son 9!, pero con un poco de atención se quedan en “poquitas”.
    No queda muy bonito, pero es válido, y por supuesto “no cabe en el márgen de este libro”.
    Sin embargo encontré una combinación “maravillosa” que cabe en este margen, aunque la desvelaré la semana que viene :-p

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  30. Gracias por tomarse el tiempo Diamond.

    Aguardaré por lo que ustedes publicarán, ya que no me brota mucha creatividad por los momentos.

    Hoy di mi primera clase, retomando, y explicaba, de manera introductoria, el tema de expresiones algebraicas… le decía yo a una estudiante que si x alfombras costaban y denarios, cual era el costo total por las x alfombras. Entonces, les enseñaba a no solo plantear el producto en forma literal; sino a ver el producto como una sumatoria, y les decía que había que sumar y x veces, y la alumna me respondió que simplemente la respuesta era x*y y que cuáles eran mis ganas de complicarme la vida…

    En fin… gracias por este espacio, y bueno comenté algo fuera de este desafío.

    Saludos a todos.

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  31. Hola, me pregunto si en los comentarios puedo hablar sobre una forma muy bonita de extrapolar el problema para atacarlo como a un problema de grafos. Para el caso de dicho problema, como la entrada es fija y las restricciones también, se puede implementar un programa que genere todas las posibles combinaciones, poniendo algunas restricciones como es el caso de no poner niños que estén a distancia (por las camisetas) distinta a 3, 4 y 5, acotando mucho más el espacio de posibles soluciones. Estás soluciones se implementan fácilmente, pero lo que quiero saber es si en este espacio (comentarios), puede mostrar una forma de ver el problema como un grafo y usar un algoritmo clásico para resolverlo.
    Tengo la duda, pues me comentaron anteriormente que en los comentarios no se podían subir soluciones, pero como esta, a pesar de ser una solución, no es matemática, sino computacional, quiero saber si puedo comentarla.

    Gracias y Saludos!

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  32. Gracias por tomarse el tiempo, amigo Cartesiano Caótico, quise decir. Saludos!

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  33. ¡Rummikub! Gracias por la observación Mago Moebius. Qué lindo como las niñas utilizaron el 10 como 0, sin ningún problema. ¡Desde temprana edad ya manejan abstracción! Ojalá mis alumnos de unos 17 años, muestren esa cualidad.

    Saludos.

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  34. Leandro, el capellán de mi Universidad, que era Lic. en Matemáticas, hizo su tesis de pre-grado en grafos, y un paper luego, y me acuerdo que Euler ideó la teoría de grafos, creo que precursora de topología, con un problema de puentes en Suiza, creo…

    Lo computacional, no excluye a lo matemático creo. El hacer una solución algorítmica, me parece que no la hace no-matemática, siempre y cuando sea reigurosa.

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  35. Sip, eso lo sé, sucede que la solución de la cual comento es un algoritmo que al terminar retorna falso, no es que sea una demostración por teoría de grafos, es un algoritmo de grafos que resuelve el problema.
    Gracias por su comentario

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  36. A^*, quise decir. Alguna librería de algún lenguaje en especial?

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  37. Sinuhé, muchas gracias, pensando ahora en explicarle la solución mediante un algoritmo de grafos se me ha ocurrido una forma de demostrarlo computacionalemente, jajaja, está muy buena….

    Saludos

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  38. Mira, tomando cada niño como un nodo, digamos:
    0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 –> nodos del grafo

    Donde el nodo 0 –> está conectado al nodo 3, 4 y 5 (3 aristas, para conectar a los nodos 3, 4 y 5)
    Donde el nodo 1 –> está conectado al nodo 4, 5 y 6
    .
    .
    .
    Donde el nodo 5 –> está conectado al nodo 0, 1, 2, 8 y 9
    .
    .
    .
    Donde el nodo 9 –> está conectado al nodo 4, 5, 6

    De esa forma queda conformado un grafo, ahora se aplica el algoritmo para encontrar un ciclo hamiltoniano, el cual consiste en encontrar un ciclo (valga la redundancia) en el cual en encontrar una sucesión de aristas adyacentes, que visiten todos los nodos del grafo una sola vez y el último nodo debe de conectar con el primero (para que sea un ciclo en vez de un camino).
    El problema es NP-completo, por lo cual no existen soluciones que en tiempo polinomial.

    Saludos.

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  39. Disculpa que puse los comentarios en distintos órdenes, lo debes de haber notado, sucede que la primera vez, lo que publiqué fue una vista previa…
    Saludos desde Cuba!

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  40. jaja, disculpen tantas explicaciones:
    Lo el algoritmo que mandé no es la solución de la cual comente en el otro comentario…

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  41. Leandro W. Osorio

    Hasta donde has llegado creo que estas en el límite de lo publicable, pues a partir de aquí la solución es casi inmediata.

    (mis niños de la 1ª entrada también conocen la tería de grafos)

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