Desafíos Matemáticos en El País – Desafío Extraordinario de Navidad 2018: Un sorteo galáctico

¡¡Vuelve el desafío matemático RSME-El País!! Como ocurre desde 2012, la Real Sociedad Matemática Española y El País nos proponen un nuevo Desafío Matemático Extraordinario de Navidad. En esta ocasión lo vuelve a hacer Adolfo Quirós, profesor de la Universidad Autónoma de Madrid (UAM) y director de La Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española.

Aquí tenéis el vídeo en el que Adolfo nos propone el desafío:

Dejo también el texto del problema:

Desde hace mucho tiempo, en una galaxia muy, muy lejana, se organiza cada año un sorteo muy parecido al de la Lotería de Navidad. Lo llaman Gúgol Lotería de Navidad, y las dos diferencias principales con la nuestra son:

a) Como todos los habitantes de la galaxia quieren participar, en vez de números de 5 cifras (del 00000 al 99999), entran en el Gúgol-bombo todos los números de 100 cifras (desde el formado por 100 ceros al formado por 100 nueves).

b) En lugar de reintegros determinados por la cifra final del Gordo, hay Gúgol-reintegros. Para saber quién los recibe, se calcula para cada número su Gúgol-dígito de la siguiente manera. Dado el número, se suman todas sus cifras. Si el resultado tiene un único dígito, hemos acabado. Si no, volvemos a sumar las cifras del número obtenido, y repetimos hasta obtener un solo dígito, que es el Gúgol-dígito del número por el que empezamos. Por ejemplo, este es el décimo de la Gúgol Lotería que yo llevo este año:

El primer cálculo nos dará 50 x 8+ 50 x 7=750, el segundo 7+5+0=12, y por fin 1+2=3, de manera que el Gúgol-dígito de mi número es el 3.

Ganan el Gúgol-reintegro todos los números cuyo Gúgol-dígito coincide con el del Gordo, salvo el Gordo propiamente dicho.

El desafío que proponemos a nuestros lectores es doble, y sólo quien conteste a las dos preguntas podrá considerar que lo ha resuelto completamente:

1) ¿Por qué se llama Gúgol Lotería?

2) ¿Tienen todos los números la misma probabilidad de que les caiga el Gúgol-reintegro? Dinos cuál es esa probabilidad o, si no es la misma para todos, qué probabilidad tiene cada número de obtener el Gúgol-reintegro en un sorteo.

NOTA: Nuestros ordenadores terrestres no tienen capacidad para hacer una lista con los Gúgol-dígitos de todos los números que participan en la Gúgol Lotería de Navidad, así que la pregunta 2 hay que resolverla dando un argumento que justifique la respuesta.

También os dejo en enlace al desafío en El País: El desafío matemático de la Lotería de Navidad 2018.

Podéis enviar vuestras propuestas de solución hasta las 00:00 de la madrugada del jueves 20 al viernes 21 de diciembre, y lo tenéis que hacer enviándolas por mail a problemamatematicas@gmail.com.

Y en relación con los comentarios en esta entrada, al igual que hice en los anteriores desafíos RSME-El País y en los Gaussianosyguijarro, en principio no tengo pensado quitaros la oportunidad de comentar, pero me gustaría que si queréis comentar no dierais la solución directamente, preferiría que si queréis comentar dierais pistas, que hablarais de la forma de resolverlo, en vez de limitaros a dar la solución tal cual. Muchas gracias a todos y a disfrutar con el desafío.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

6 Comentarios

  1. Aunque sea matemático, y me parece un buen problema, quiero llamar la atención en otra cosa: el trasfondo. Como amante de la ciencia ficción, me interesaría saber qué galaxia es, qué habitantes tiene, cómo se hace el sorteo, etc. 😀

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  2. Ojo, que el detalle de que el gordo no pilla reintegro y la formulación de la pregunta le dan una vuelta de tuerca al problema…

    No es lo mismo preguntar ¿tienen todos los números la misma probabilidad de que les caiga el Gúgol-reintegro?… que preguntar ¿cuál es la probabilidad de cada Gúgol-reintegro?

    Ya lo he solucionado, pero me queda la duda de si esos matices son relevantes y modifican el problema ideal (el gordo pilla reintegro y responder a la segunda pregunta) o no.
    También lo he solucionado así, pero su lógica se complica bastante y no sé si es lo que pretende el desafío o simplemente exige razonar sobre lo que ya se ha dado cuenta Jose Torres Zapata en el primer comentario…
    De hecho, se pueden combinar esos dos matices o tener en cuenta solo uno de ellos, en cuyo caso también se llega a resultados diferentes.

    ¿Podríais decirme cuál es la interpretación correcta?
    Y otra cosa… ¿Cuáles son las fechas de inicio y límite para mandar las respuestas? Es que no se entiende bien si es hasta las 00:00 del jueves 20 o del viernes 21.

    Gracias.
    Un saludo.
    Miguel.

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  3. Envié a El Pais estas dos respuestas desarrolladas:

    1) Gúgol es el nombre del número 10^100 y que, en este problema, expresa la cantidad de décimos distintos de la Gúgol Lotería que pueden salir a la venta

    2) NO tienen todos los décimos la misma probabilidad de ganar el Gúgol-reintegro:

    – El décimo formado por 100 ceros tiene probabilidad NULA de ganar el Gúgol-reintegro.

    – Cualquier otro décimo tiene una probabilidad= ([((10^100)-1)/9]-1)/(10^100)= (1/9)(1-10^-99) de ganar el Gúgol-reintegro.

    Saludos
    Toni

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