Ecuación con factoriales
Aquí os dejo el enunciado del problema de esta semana:
Si
y
son enteros positivos, encuentra todas las soluciones de la siguiente ecuación:
Suerte.
Aquí os dejo el enunciado del problema de esta semana:
Si
y
son enteros positivos, encuentra todas las soluciones de la siguiente ecuación:
Suerte.
Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$
.
Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.
Y si los símbolos <
y >
te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.
09/03/2010
Argh!
Para a<=b<=c<=20 sólo hay 3!3!=3!+3!+4!=36
09/03/2010
No me sale…
Debe ser
por tanto
por tanto
es decir, la expresión de la izquierda ha de ser divisible por b+1, b+2, b+3, … hasta c.
09/03/2010
Bueno, al menos, para todas las soluciones de la forma
c=b+1
sólo hay una solución (la 3,3,4) puesto que de
tenemos que
despejando a! queda
pero la solución sólo puede ser entera si se cumple que
que sólo es válido para b=3
09/03/2010
Haciendo algo similar para c=b+2 resulta
luego no hay ninguna solución, puesto que tanto
como
son pares y por tanto sumado 3 es impar lo cual no puede ser ningún factorial (que excepto el 1 son todos pares).
Para c=b+3 empieza a ser engorroso…
09/03/2010
Ejem! perdón, ignorar la última burrada…
09/03/2010
Bueno, la burrada se arregla sabiendo que las soluciones de la parábola son -1 y -3 por tanto no puede existir solución (debe ser positivo).
09/03/2010
Vaya, para c=b+3 tenemos
cuyas soluciones son también negativas y por tanto no existe tampoco solución al problema para c=b+3.
¿Existirá algún n tal que c=b+n tenga solución positiva (y sea un factorial)?
09/03/2010
Bueno, todas las ecuaciones de la forma
tienen pinta de no tener solución…
09/03/2010
(cahis! se ha ido el símbolo producto, quería poner algo como
)
09/03/2010
En fin, si no lo he hecho mal, numéricamente, para a,b,c <= 300 sólo hay la solución indicada.
09/03/2010
Demostración de que en cualquier solución se cumple que a = b:
Por simplicidad consideramos que
(es evidente que a y b cumplen papeles simétricos, luego no se pierde generalidad. Además que sean mayores que 1 nos elimina casos triviales sin solución).
Un poco de notación extra:

Supongamos que
entonces tenemos que:

es decir:
de donde:
Es evidente que
debe ser entero, por tanto el lado derecho de la igualdad debe ser entero y así vemos que
es entero y se confirma que:
En el siguiente comentario pongo el caso en que
09/03/2010
Uy, con lo bien que iba… la he cagado en la conclusión.
No hagáis caso donde pone
. debería poner sólo
.
09/03/2010
Hola a todos. Allá voy con media solución (y, por cierto, aunque he comentado un par de veces en los problemas, nunca he dicho lo bueno que me parece este blog, así que queda dicho).
En primer lugar, la ecuación se puede poner como
Voy a restringirme al caso fácil
. Faltaría por probar (y esto es una conjetura) que no hay solución para
.
Si
, entonces
o bien
Ahora bien, si c es menor que a obviamente no hay solución, y si c=a implicaría que
. Así que ha de ser c mayor que a. La ecuación se reescribe entonces como
para un cierto k mayor o igual que 1. Supongamos primero que k es mayor o igual que 4:
1) Si a es par, entonces
y
, luego
pero eso es imposible.
y
con lo que llegamos a una contradicción.
2) Si a es impar, entonces
Luego
(a debe ser par si
). Analicemos cada caso por separado:
1)
y a par: La ecuación equivale a
. La solución (si existe) ha de ser única porque
es estrictamente creciente para a mayor que 0 y
también lo es. Para
,
es mayor que
y para
y
se comprueba que no son solución.
: La ecuación equivale a
. La solución (si existe) ha de ser única porque
es estrictamente creciente para a mayor que 0 y
también lo es. Para
,
es mayor que
y para a menor que 5 se comprueba que no hay solución.
: La ecuación es
, que tiene a
como solución, y para a mayor que 3 el factorial es siempre mayor que el polinomio.
2)
3)
En definitiva, si
, entonces la única solución es
y
.
09/03/2010
Pues entonces ya tenemos la única solución.
En el comentario de más arriba queda probado (salvo que haya metido la pata, como de costumbre) que
cuando
.
Para el caso en que
tengo un proyecto de demostración que confirma que no existe ninguna solución.
En los casos en que
tendríamos (podemos seguir suponiendo que
sin pérdida de generalidad):
1.
cuando
el resultado sería negativo y cuando
aparece una división por cero. En los demás casos no hay solución entera ya que la función es siempre menor que 2, mayor que 1 y tiende a 1 a medida que crece
(que además debe ser menor que
), luego no hay solución.
2.
Análogamente al caso anterior, ahora si
no hay solución válida y, cuando a > 3 la función es siempre menor que 3 y tiende a 2 cuando
tiende a infinito.
P.D.: Me acabo de dar cuenta. Quedaría un último caso por considerar, cuando
09/03/2010
“mimetist”, ¿qué propiedad adicional estás usando para concluir que 1/B es entero?, es decir, en general, Y/B+1/B puede ser entero aun siendo B e Y irracionales (e.g. Y=Pi, B=(Pi+1)/3).
09/03/2010
josejuan, me imagino q lo dice pq Y/B es entero, ya que es lo mismo que c!/b!, y como ha supuesto que c>b, entonces es entero. Y si Y/B es entero y a!-1 es entero, pues entonces 1/B es entero, no?
09/03/2010
Si te fijas,
y
son números enteros, por lo tanto
también es entero.
Como
también es entero, tenemos que
es entero.
Está bien, ¿no?
09/03/2010
Uuuu… pues tienes razón, me he colao…
no tiene porqué ser entero!!
Ais, para una vez que pensaba que había hecho una demostración bien en este blog !! xD
09/03/2010
Buenos Días
Voy a intentar aportar otro granito de arena a la demostración.
Pretendo demostrar que no es posible que
. Primero que nada hacer notar que la expresión es simétrica con respecto a
y
, por lo que se puede considerar sin perdida de generalidad que
.
La expresión la puedo manipular para convertirla en
Caso 1 :
Entonces, naturalmente sólo queda la posibilidad de que
, y por tanto
. En la expresión
, en este caso, el miembro derecho es par y el izquierdo es impar, y no hay forma de que se cumpla la igualdad.
Caso 2 :
Entonces, como
se debe cumplir siempre que
Y por tanto
y llegamos a la conclusión de que
lo que nos lleva a que
, lo que no es posible porque hemos supuesto que
.
Hemos pues demostrado que no es posible que
en ningún caso.
Un Saludo
09/03/2010
Perdón, en la anterior exposición hice gala de que no sé cual es mi mano derecha y cual la izquierda, y confundí de lado los miembros. Si corregimos mi fallo disléxico la demostración queda mucho mejor.
Por otra parte, creo que es relativamente fácil comprobar que no puede ser que
ya que en ese caso se debe cumplir que
, y podemos estudiar uno por uno los casos posibles.
Un Saludo
09/03/2010
Estoy pensando en una forma de hacerlo fácil, por ahora se me ha ocurrido que a partir de 5 todos los factoriales acaban en 0, lo cual simplifica bastante la cosa, creo.
Ya que si a>=5, entonces a! acaba en 0, por lo que a!b! también acaba en 0, con lo cual; forzosamente, a!+b!+c! debe acabar en 0 por ser una igualdad.
Por ahí me sale un razonamiento por casos, un poco cutre, pero sencillo.
Ya digo, esto es pensando y sin plasmarlo en papel.
09/03/2010
Bueno, pues yo digo que si a,b y c son mayores que 2, todos los miembros de la igualdad son pares. Si b es menor que a,
y dividimos ambos lados de la igualdad por b!, se deduce que a!/b! y c!/b! no pueden ser ambos pares ni impares(pues a! lo es). También se deduce que c>=b, pues si no, un natural sería igual a un racional. La única forma de que no sean ambos pares o impares es que ac y que b=c-1 o b=a-1.
Además, b+1 tiene que ser impar, y, por lo que dice Cristobal, presumiblemente acabar en 9.
09/03/2010
La única forma de que no sean ambos pares o impares es que a sea distinto de c y que b=c-1 o b=a-1.
09/03/2010
También creo que se puede demostrar que c>a, es decir, que a=b+1.
Si es así:
a!=a+1+(a+1+k)!/(a-1)!, con k>0
09/03/2010
Alguien sabe de algún blog que sea igual de bueno como éste, en donde pongan problemas, noticias sobre Física Mecánica o de Magnetismo?
09/03/2010
Por último
Multiplicando todo por (a-1)!
a!(a-1)!=(a+1)(a-1)!+(a+1+k)!
(a-1)!=(a+1)/a+(a+1+k)(a+k)…(a+1)
Que no puede ser
09/03/2010
Para ver que si
no hay solución: Sin perder generalidad, supongamos 
Tenemos que
Pero en nuestra hipótesis, la primera fracción es un entero
, por lo tanto la última también debe ser un entero. Entonces 
Vemos que la desigualdad no puede ser estricta, porque entonces
y las dos fracciones serían múltiplos de
, como también lo es el término de la izquierda – y el uno que suma da una contradicción.
Pero tampoco puede darse la igualdad
. Porque entonces tendríamos, reagrupando que
(siendo la fracción un entero), y es fácil descartar las dos posibilidades ( 1 x 2, 2x 1)
Entonces sólo queda que
09/03/2010
… tras lo cual hay que aplicar la (semi)demostración de castilla (12:57)
09/03/2010
Muy buena, hernan. Un saludo.
10/03/2010
c! = a!b! -a!-b!
Como (a!-1)(b!-1)= a!b! -a!-b!+1 entonces
c!+1= (a!-1)(b!-1)
Todos los factoriales son pares, por tanto las posibles terminaciones de cualquier factorial son 0,2,4,6 u 8. El 8 no cuenta ya que no hay ningún factorial terminado en 8, y desde 5! (incluido) todos terminan en 0.
0!=1
1!=1
2!=2
3!=6
4!=24
5!=120
etc
Como c! tiene que terminar en 0,2,4 ó 6, entonces c!+1 debe acabar en 1,3,5 ó 7. El producto de los dos factores
(a!-1)(b!-1) tendrá que acabar en 1,3,5 ó 7. Estudiamos los casos.
Terminación en 1. a!-1 y b!-1 terminan en 1, por tanto a! y b! deben terminar en 2, y la única posibilidad es que sean ambos 2!=2. En este caso c!=0 no nos da solución válida.
Terminación en 3. Uno de los dos termina en 1 y el otro en 3. Por tanto uno de los dos terminará en 2 y el otro en 4. La única posibilidad es 2!=2 y 4!=24, que daría c!=22, tampoco es solución válida.
Terminación en 5. Uno termina en 1 y otro en 5 o bien ambos en 5. En el primer caso, uno de los factoriales acabaría en 2 y el otro en 6, la única posibilidad es 2!=2 y 3!=6, que no conduce a valor de c! válido. En el segundo caso, los dos factoriales acabarían en 6, lo que nos lleva a 3! y 3!, que da como solución c!=24=4!.
Terminación en 7. Uno termina en 1 y otro en 7. Uno de los factoriales acabaría en 2 y el otro en 8, que no es posible ya que ningún factorial termina en 8.
Como conclusión, la única solución a esta ecuación es la que dan 3!, 3! y 4!.
11/03/2010
A Zenobia: plas, plas, plas, plas (no son bofetadas, son aplausos), que me deja pasmao.
11/03/2010
Se me había pasado poner que todos los factoriales son pares a partir de 2!, y que ninguna combinación con 0! y 1! para a!,b! y c! da valores válidos para la resolución.
11/03/2010
Hola Zenobia,
creo que se te han olvidado algunos casos, al menos los siguientes:
Terminación en 1. A partir de 5, todo factorial menos 1 acaba en 9, y el producto de dos de ellos acaba en 1.
Terminación en 5, todos los factoriales que acaban en 0, menos 1, multiplicados por factorial de 3, menos 1, terminan en cinco.
Terminación en 7: Para cinco o mayores, su factorial menos 1, multiplicado por (4!-1) acaba en 7.
11/03/2010
Sean a, b y c mayores que 5. c!+1 acaba en 1, a!-1 acaba en 9 y b!-1 acaba en 9. Por tanto, (a!-1)(b!-1) acaba en 1, la demostración de Zenobia se desmorona y josejuan deja de aplaudir y sus plas, plas, plas resulta que sí que son bofetadas…
11/03/2010
Nos gustaría informaros de la convocatoria del Certamen Internacional EducaRed, que pretende facilitar a la comunidad educativa nuevas herramientas, conocimientos y métodos de trabajo para asumir los cambios que las Tecnologías de la Información y la Comunicación (TIC) provocan en nuestra sociedad y en las nuevas generaciones de estudiantes, así como en los métodos de enseñanza y aprendizaje.
Tenéis toda la información en nuestra web: http://www.educared.org/certameninternacional
También os invitamos a ver el vídeo promocional de esta edición en: http://www.youtube.com/watch?v=GGikEyxxrHc
Se puede participar en el Certamen creando blogs, webs y wikis. Además, los docentes pueden participar en solitario, con Experiencias Didácticas relacionadas con el uso de las TIC.
El plazo de inscripción finaliza el 16 de abril. Si tenéis alguna duda, poneos en contacto con la Oficina del Certamen.
Un cordial saludo,
Oficina del Certamen Internacional EducaRed
Correo electrónico: certamen@educared.org
Teléfono: 902.905.144
+34.981.975.621
11/03/2010
Icosaedro y Osukaru, tenéis toda la razón, simplemente con el caso 9×9=81 la demostración no es válida, es lo que tiene hacer los cálculos deprisa. Qué lástima, con lo elegante que habría quedado si fuera cierto. De todos modos, que el fallo merezca bofetadas…, lo veo un pelín excesivo (je,je).
11/03/2010
Ja, ja, … no pasa nada, a mí me sigue gustando el planteamiento. Suele ser el tipo de cosas que se hacen en teoría de números, módulos, … y cosas así. Lo que pasa es que yo soy especialmente torpe en esa rama (si es que en alguna no lo soy) y me encanta cuando alguien me pone delante de las narices resultados como ese.
¡Animo Zenobia!
11/03/2010
Lo que estamos buscando es que la suma de tres factoriales dividida entre el producto de dos de ellos nos de la unidad, y teniendo en cuenta el comportamiento de los factoriales, esto se va a dar en contados casos, mi intuición es que la solución 3!,3! y 4! es única. Por ejemplo, suponiendo que dos de los números sean iguales (a!=b!), entonces tenemos
2a!+c!/a!a!=1. Si hacemos c!=(a+1)! entonces , ya que
(a+1)!=(a+1)a! tenemos a!(a+3)/a!a!=1, de donde a+3/a!=1.
Si se verifica que a!=a+3, entonces a!,a! y (a+1)! serán solución de la ecuación. Está claro que 3!=3+3, pero a partir de ahí ningún factorial lo verifica, ya que crecen demasiado deprisa como para que a! y a+3 puedan ser iguales. Entonces, en el caso de que dos sean a! y el tercero sea (a+1)!, la única solución sería 3!,3! y 4!. Si dos de ellos son a! y c! no es (a+1)!, entonces nos quedaría que a!a!=2a!+c!, de donde c!+1= (a!-1)^2. a!-1 es la raíz cuadrada de c!+1, de donde esa raíz cuadrada debe ser un número natural (porque los factoriales son naturales), por tanto c!+1 ha de ser un cierto n al cuadrado. Habría que estudiar cuántos factoriales + 1 dan un cuadrado perfecto, y además la raíz cuadrada de esa cantidad + 1 tiene que ser también un factorial (=a!). A simple vista, hay tres factoriales, el 4!,5! y 7! a los que sumando uno se obtienen los cuadrados perfectos de 5,11 y 71. 4! ya lo teníamos como solución (con 3! y 3!9, los otros dos no son válidos, ya que 12 y 71 no son factoriales. Falta encontrar una pauta para hallar estos números, o bien demostrar que no hay más factoriales que cumplan esto. Si suponemos que los tres factoriales son iguales llegamos a que a!=3, que no da solución válida, por tanto los tres no pueden ser iguales. A partir de aquí, si lográramos probar que la suma de tres factoriales distintos entre sí siempre es menor que el producto de dos de ellos
(a!+b!+c!<a!b!) lo tendríamos. Quizá por reducción al aburdo. Como he dicho antes, la intuición indica que esto último puede ser cierto, pero en matemáticas la intuición falla tantas veces…
También se podría intentar probar que el producto de (a!-1)(b!-1) no puede ser c!+1, que no hay factoriales distintos entre sí que lo verifiquen.
Interesante problema.
11/03/2010
Zenobia, si miras los comentarios previos de hernan verás que para
no puede haber solución, y si miras el mío (salvo que me haya equivocado), para $a=b$ la única solución posible es $\latex a=3,c=4$. En cualquier caso, tu primer intento me pareció muy bueno y muy elegante. Lástima que no funcione.
11/03/2010
Hola Castilla. No había mirado los comentarios anteriores porque me apetecía abordar el problema sin ninguna indicación. De todos modos, la demostración de Hernán no me convence, porque ni a!/b! ni c!/b! tienen por qué ser enteros, aunque su suma más uno deba dar un entero. En cuanto a la tuya, no tengo tiempo para mirarla ahora detenidamente,tiene buena pintia, y si fuera correcta en efecto probaría que si a=b la solución única es 3,3,4.
11/03/2010
Hola, Zenobia,
a!/b! es entero pues a>b (es lo que se ha supuesto)
y se deduce que c>=b, precisamente para que el cociente sea entero.
Un saludo.
11/03/2010
Gracias Icosaedro, no me había fijado en la suposición a>b, por eso no me cuadraba. El resto de la demostración me parece absolutamente correcto.
01/08/2010
Pues con un simple tanteo nos evitamos tantas notaciones 😀 (3; 3; 4) es la única solución, sólo prueben a*(b – 1) = b + c; (cada variable con su factorial) desde b = 1 hasta b = 3, desde b = 4 se ve que no hay más solución por el crecimiento más exponencial de la función factorial. Saludos!
10/02/2014
me pueden ayudar con este problema?
((n-3)!+(n-9)!)/((n+4)!+(n-9)!)
10/02/2014
Para n igual o menor que 8 no tiene valor real. Para n igual o mayor que 9 se parece mucho a n-3+1/(n-5)!