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El burro y la alfalfa

Posted By ^DiAmOnD^ on 22 de diciembre de 2009 in Juegos | 128 comments

El problema de la semana lo envía Miguel a gaussianos (arroba) gmail (punto) com. Ahí va:

Dos amigos tienen un terreno circular de alfalfa y uno de ellos tiene un burro encadenado a un punto fijo del perímetro (circunferencia). ¿Cuál deberá ser el radio de la cuerda para que el burro sólo tenga acceso a la mitad de la alfalfa?

A ver qué tal se os da.

Author: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

128 Comments

Jones, Francisco
22/12/2009

El burro está atado con una cuerda o con una cadena? :-}
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bibliotranstornado
22/12/2009

Si el campo tiene un radio $R$ y usamos una cuerda de longitud $r$ .

$\pi * r^{2} = 1/2 * \pi * R^{2}$

Con lo que $r$ es:

$r = R / \sqrt{2}$
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Miguel
22/12/2009

El burro no está en el centro, está en la cuerda de la circunferencia, por lo que me temo que no es lo que se buscaba.
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- Jubileta
  17/12/2017
  
  Dibuja una circuferencia de radio R,y dividela con sus diametros de Norte a Sur y de Este a Oeste. Verás que si unes el extremo Sur con el Este tienes una cuerda cuya longitud es R por raiz de 2. Desde el Sur con ese radio R^2, trazas una cirufrencia que pasará por los puntos Este y Oeste y te formará una chepa sobre el diametro que va de Este a Oeste. Vamos a tratar de calcular el area de esa chepa.
  Si observas veras que el angulo que se forma en el Sur por los radios de R^2 es de 90 grados por lo cual el area comprendida entre los radios que salen del Sur a los puntos este y oeste y lachepa es igual pi x R`2 al cuadrado/4 y ahora a eso le quitas el area de los dos triangulos base por altura/2 = R.R/2 y como son dos pues les restas R cuadrado.Asi ya tienes el area de la chepa. Con lo que sabes que con un radio de R^2, el burro se come pi. R al cuadrado más la chepa. Y el area de la chepa es pi.por r al cuadrado/2 y menos R al cuadrado. Entonces una regla de tres si con radio R.raiz cuadrada de 2 se come el burro pi.r al cuadrado/2 más la chepa, que radio x necesitará para comerse solamente pi.r al cuadrado /2. Finalmente te da Raiz cuadrada de 2/ 1,5-1/pi y esto da 1,18 muy parecido a lo que se consigue con coordenadas polares, aunque la regla de tres es una oproximacion,Tambien por coordenadas polares como lo hacen los que saben da parecido. Siento no saber poner las operaciones claras.
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Carlos
22/12/2009

bibliotranstornado, esa respuesta no me parece correcta, el enunciado dice que el burro esta atado a un punto fijo del perímetro (que representa el borde del campo) y no al centro como tu tal vez lo entendiste
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Carlos
22/12/2009

mmmm la longitud de la cuerda del burro debe ser mayor a la del radio de la circunferencia…
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Jorge
22/12/2009

¡Alerta de solución!:

EDITADO por ^DiAmOnD^

Jorge, antes de publicar un enlace con una solución mejor dejar que la gente intente resolverlo por su cuenta. ¿No te parece? 🙂
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josejuan
22/12/2009

Bueno, da igual lo que mida el campo (cual sea el radio) podemos suponer éste R=1 sin pérdida de generalidad.

Así, podemos sacar la superfície que puede alcanzar si la cuerda mide r que es

$A(r)=(\pi -2\arcsin \frac{r}{2})r^{2}+2\arcsin \frac{r}{2}-r\sqrt{1-\frac{r^{2}}{4}}$

como no parece sencillo despejar r, lo mejor es usar un método numérico que nos vendría a dar que r=0.65 o así.

Bueno, no es la mejor, pero sí la más rápida 😉
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Javier
22/12/2009

cuerda= \sqrt{2}-1
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Javier
22/12/2009

$cuerda= \sqrt{2}-1$
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Javier
22/12/2009

$cuerda= radio parcela {\sqrt{2}-1 \over 1-(\sqrt{2}-1)}$

este último creo que sí.
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Baro
22/12/2009

Por simetría del problema si un círculo come la mitad del área deja la mitad sin comer lo mismo le sucede al círculo que es comido de tal manera que R=r si realizar ningún cálculo
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Baro
22/12/2009

He releido el problema y mi solución no es correcta
Sorry
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josejuan
22/12/2009

Perdón, antes resolví numéricamente buscando
$A(r)=\frac{1}{2}$
cuando debía ser
$A(r)=\frac{\pi }{2}$
la solución es
$r=1.\,\allowbreak 319\,0\allowbreak$
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bibliotranstornado
22/12/2009

Sí, me había parecido tan sencillo…

La solución saldrá de resolver la $r$ en la ecuación:

$\pi R^2 / 2 = 2 \int_{0}^{r \cos {\arcsin{r/2R}}} \sqrt{r^2-x^2}-\sqrt{2Rx-x^2} \,dx$
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Lek
22/12/2009

Pues yo pienso como Baro inicialmente… el radio es la longitud
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josejuan
22/12/2009

Uhm… no se porqué otra vez tenía mal el cálculo, usando sólo geometría, la relación directamente sale como
$A(r)=2\arcsin \frac{r}{2}+r^{2}\arccos \frac{r}{2}-r\sqrt{1-\frac{r^{2}}{4}}$
que no es más que la suma de los dos sectores menos la del rombo que tienen en común.
El resultado de despejar «r» (numéricamente eso sí) me da
$1.1587$
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- forsakenwins
  23/04/2018
  
  El vencedor es absolutamente 1.1587 un brillante razonamiento expresado en 6 líneas, sin duda un clásico de las ecuaciones trascendentales iterables, se aprecia que L es un poquito mayor que R y que alfa es un poquito menor a pi/3, entonces se itera en esa vecindad, mis felicitaciones a josejuan, y el resto estudien. Atte forsakenwins
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Jones, Francisco
22/12/2009

Josejuan, se supone que r es la longitud de la cuerda.
pero, ¿el radio del terreno circular no debería influir en el resultado?
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josejuan
22/12/2009

«Jones», imaginate que estás sobrevolando en globo a muchos metros de altura el campo en el que está pastando el burro, ¿qué radio creerías que tiene el campo?, ¿y la cuerda?.

¡Da igual!

Sólo tienes que realizar un cambio de escala para que el campo (y la cuerda) tenga el tamaño (longitud) que quieras.

Por eso, basta que lo resuelvas fijando R=1, de esta forma, si decimos que r=1.1587, entonces, para un campo de R=2 será r=2.3174.

Así es más fácil (no mucho más, pero sí más fácil).
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Dani
22/12/2009

Centro la circumferencia (asumo de radio uno) en el punto (1,0), supongo el burro atado al origen y resuelvo para el ángulo $\phi$ entre la cuerda del burro estando completamente tensada y tocando la semicircumferencia superior. (Así luego se obtiene la longitud de la cuerda en función del radio del campo de alfalfa pues al ángulo le dan igual las magnitudes)
(qué complicadas son las palabras y qué fáciles los dibujos!). Quiero integrar la zona en cuestión (dentro de la circumferencia de radio uno centrada en el (1,0); el campo de alfalfa, y dentro de la circumferencia centrada en el (1,0) y de radio $2 \cos (\phi)$ , el alcance del burro) en polares y ver que es igual a $\frac{\pi}{2}$ . Integrando solo la mitad superior e igualando a $\frac{\pi}{4}$ obtengo:
$A = \int_{0}^{\phi} \int_{0}^{2\cos(\phi)} r \, \, dr d\theta + \int_{\phi}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{2\cos(\theta)} r \, \, dr d\theta = \frac{\pi}{4} \Longleftrightarrow$
$\Longleftrightarrow 2 \phi \cos^2(\phi) + \frac{\pi}{4} - \phi - \frac{1}{2}\sin(2\phi)=0$
que coincide con la estimación numérica de josejuan, pues para radio unidad la longitud $1.1587$ equivale a un ángulo (en radianes) de aproximadamente $0.95287$ . No he sabido despejar el valor exacto. Seguiré pensando.
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Esteban
22/12/2009

Finalmente lo pude resolver con geometria
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Esteban
22/12/2009

perdon con solo trigonometria y geometria
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Ty
22/12/2009

ya esta
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Ty
22/12/2009

Sea $A :$ El Area del circulo(Alfalfa), $R :$ El radio del circulo(de alfalfa).

Sea $A' :$ El area del circulo que barre la cuerda del burro(totalmente extendida), Sea $r :$ El radio de esa cuerda(la cuerda o cadena, nose, que amarra al burro).

Tenemos las siguientes relaciones:

$A=\pi*R^{2}$

$A'=\pi*r^{2}$

Bien(Se Facilitaria mas la comprension de lo que sigue si hubiera la herramienta de dibujo rapido).

El origen del radio de la cuerda esta ligada a un punto del perimetro(un punto por el que pase una tangente exterior), asi el »conjunto» A’ queda dividido en 2. Una parte de esa division es comun al area de del terreno circular, esa area llamemosle $\sigma$ y la otra exterior al terreno $\nu$ . Ahora Bien, tenemos:
$A'= \sigma + \nu$ (o, ${A'}={\sigma}U{\nu}$ )
Analizando la interseccion de $A'$ y $A$ , se ve numericamente que el area de la misma vale:

$\sigma = \pi\langle r^{2}-R^{2}\rangle$

y

$\nu = \pi\langle r^{2}-\frac{R^{2}}{2}\rangle$

Con lo que vemos que para que parte de esa area $\sigma$ sea la mitad del terreno de alfalfa, obtenemos que el radio de la cuerda(o cadena) debe ser:

$\sigma = \frac{A}{2} = \pi\frac{R^{2}}{2}$

se cumple si

$r = \frac{\sqrt[2]{3}}{2}R$ (Radio de La cuerda)
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Ty
22/12/2009

creo que ese es el radio de la cuerda para que el burro tenga acceso a la mitad del terreno circular de alfalfa y otra fuera de ese.
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Elías
22/12/2009

Bueno, la ecuación que obtengo el la misma que la de Dani y josejuan, la cual resolví usando el Excel. El problema lo conozco desde hace 43 años, pero nunca he visto una solución que no involucre ecuaciones trascendentes implícitas para resolverlo.

¿Habrá alguna forma distinta?, digamos al estilo de las Olimpiadas.

Saludos
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Dani
22/12/2009

Ty, no entiendo muy bien a lo que te refieres con $\sigma$ y $\nu$ , pero hay una manera de verificar que tu respuesta no puede ser correcta, ya que para $R=1$ te da que la longitud de la cuerda es $\frac{\sqrt{3}}{2} < 1$ , con lo cual el burro nunca cruzaría al semicírculo opuesto y desde luego no podría llegar a la mitad de la alfalfa.
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Ty
22/12/2009

Hmm…a ver si reviso algo, pero quisiera que me alguien me dijiese que razonamiento realizo mal, para asi mejorar 🙂
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Ty
22/12/2009

No, ya esta…he verificado todo y esta bien…solo que he hecho un despeje mal….asi es:

$r = \sqrt[2]{\frac{3}{2}}R$ (Radio de la Cuerda)

Asi por ejemplo, si R=1 , entonces r>1 y r = 1.224… y entonces…. el area que puede barrer el burro es $\sigma = \pi (1.488 - 1)$ = 1.570796327 .

Ahora caqlculemos el area de la mitad del terreno circular(con R=1), seria :
A = (3.141592)(1)/2 = 1.570796327
y ya esta!. Resulta ser que el burro puede pastear exactamente la mitad del area del terreno circular de alfalfa
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- GORKA
  05/07/2019
  
  Yo he hecho de la siguiente manera circuferencia radio 5 con centro en el punto sur y radio de sur a este he trazado una circuferencia cuyo radio es raiz de 50. Y he calculado el area de lo que sobresale sobre la mitad del circulo original. Lo he hallado viendo el area entre la cuerda de 10 metros y el arco como el angulo es de 90 el area sera la cuarta parte del circulo grande menos el triangulo area ihual a pix50/4-25 IGUAL A 14,27 LUEGO EL AREA QUE PODRA COMER SERA 78,54 mas 14,27 igual a 92,81 como tiene que comer 78,54 el radio debera ser por regla de 3 igual a 5,9838. La verdad que no me gusta esta aproximacion prro por integracion a mi me revientan las sustituciones.
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Ty=Tobar
22/12/2009

r(Radio de la cuerda) y R(Radio del terreno circular de alfalfa)
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Esteban
23/12/2009

Ty, con esa relacion de radios no me da que el area sea 1.57 me da 1.717 al ser reemplazada en la ecuacion de JoseJuan.

PS mi resultado es igual al que presenta Dani y JoseJuan
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Pastrana
23/12/2009

Ty, según dices, la suma de las áreas $\sigma$ y $v$ tiene que ser igual a $\pi r^2$ , pero si sumamos las dos expresiones que valen dichas áreas, el resultado es $2\pi r^2-\frac{3}{2}\pi R^2$ con lo que algo no cuadra o no lo entiendo.
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Ty=Tobar
23/12/2009

Patrana, $A' = \sigma + \nu$ o lo que es lo mismo

$A'=\pi r^{2} , \pi r^{2} = \sigma + \nu$

$A' = \pi\langle r^{2}-\frac{R^{2}}{2}\rangle + \sigma$

si , $\sigma=\pi\langle r^{2}-R^{2}\rangle$ pero recuerda que esta es la area comun entre los circulos de radios R y r, y esta area es la que necesito que valga exactamente la mitad del area de la alfalfa, esto es:

$\sigma = \pi\langle r^{2}-R^{2}\rangle = \pi\frac{R^{2}}{2}$ (de donde se deduce la expresion del radio dado anteriormente), asi pues reemplazando esta otra
expresion de $\sigma$ , se debe verificar que el area de Aa = (pi)*r^2

$A' = \sigma + \nu$ = $\pi\langle r^{2}-\frac{R^{2}}{2}\rangle + \pi\frac{R^{2}}{2} = \pi r^{2}$ Qed.
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Ty=Tobar
23/12/2009

Esteban, si R=1, estamos de acuerdo que el area del terreno circular de la alfalfa debe ser $A=\pi$ y la mitad = $\frac{\pi}{2}=1.570796327$

Luego el area $\sigma$ debe dar este valor(estamos considerando R=1), veamoslo:

$r=\sqrt[2]{\frac{3}{2}}*1=1.224744871$

$\sigma=\pi\langle r^{2}-R^{2}\rangle = \pi\langle (1.224744871)^{2}-1^{2}\rangle=1.570796327$
que es el area de la mitad del terreno circular que habiamos calculado mas atras. Y asi esta demostrado que concuerdan los resultados.
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Ricardo
23/12/2009

Bien. La solución es buscar una cuerda (o cadena) lo bastante larga como para alcanzar todo el campo (círcunferencia). Luego, y aquí lo importante, antes de atar al pobre burro, colocar una valla que divida justamente por la mitad el campo.

Ahora bien, ¿cuán grande es el campo? Si el campo es muy grande no creo que el burro pueda con tanta alfalfa.
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Ty=Tobar
23/12/2009

Ricardo, la mitad de ese campo
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Gatito cabroncete
23/12/2009

Supongamos que el burro está atado en el extremo inferior del círculo. Puesto que pide la mitad del área y hay simetría respecto a la línea vertical que cruza ambos centros, con radio de cuerda $r$ y radio de circunferencia $R$ ,

¿No sería más sencillo buscar la solución a esta ecuación, ciñiéndose a la restricción de la mitad del área?
$\int_0^R \sqrt{r^2 - x^2} - R = 0$

Lo que si no me equivoco, equivale a despejar $r$ en esta ecuación:
$R \left(-2 R+\sqrt{r^2-R^2}\right)+r^2 \text{atan}\left(\frac{R}{\sqrt{r^2-R^2}}\right) = 0$

Basta con observar un poco para darse cuenta de que la mitad del área se obtendrá con $R < r < \sqrt{2} R$ . Por tanto, definiendo una recta perpendicular al eje vertical anterior que pase por el centro de la circunferencia grande, para cubrir la mitad del área de ésta bastará con buscar qué radio de cuerda $r$ tiene el mismo área por encima que por debajo de esta recta vertical en cualquiera de los dos lados del eje horizontal.
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Esteban
23/12/2009

Ty una pequeña pregunta

estas considerando solo el area que barre el burro desde un punto en el perimetro, es decir, la seccion circular de radio «r» o tambien estas teniendo en cuenta las dos secciones circulares que se forman y el burro las barre cuando la cuerda no esta totalmente tensionada??

Sin dibujo es complicado mostrar el punto de vista
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Ramnic
23/12/2009

Podriais, por favor explicarme por que en la explicacion de Ty, $\sigma=\pi(r^2-R^2)$ es lo único que no entiendo.

Muchas gracias.
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sive
23/12/2009

Ramnic, Ty ha «resuelto» el problema considerando que el punto al que está atado el burro puede moverse libremente por todo el perímetro del campo, de modo que el área al alcance del burro es una corona circular.

El enunciado, sin embargo, deja bien claro que se trata de un punto fijo, lo cual es muchísimo más complicado.
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Ty=Tobar
23/12/2009

Bueno, coincido que sin dibujo es algo dificil darme a entender, se me facilito por que pense en los terrenos como si fueran conjuntos, cuyos elementos estan »punto a punto», despues lleve ello al plano y aplique geometria.
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Ty=Tobar
23/12/2009

Si existiera una herramienta de dibujo rapido, alguno la ha visto en algun otro lado?
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josejuan
23/12/2009

Hay una para compartir muy maja que está en

http://www.scriblink.com/

la pega es que no veo como poder publicar sin que el que lo reciba pueda modificar el dibujo (es que más que publicar es compartir la pizarra).

Pero seguro que hay otras, busquemos…

PD: aquí mi pizarra actual.

http://www.scriblink.com/index.jsp?act=phome&roomid=3035&KEY=3BBCE76BCCB6B418A989C63535747E54
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josejuan
23/12/2009

Aquí hay otro que se puede hacer el dibujo público (sin que pueda ser editado)

http://www.dabbleboard.com/draw
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Dani
23/12/2009

Ty, sive tiene razón, no es cuestión de dibujar. Creo que te has planteado mal el problema. La zona delimitada se construye de esta manera:

a) traza un círculo de radio $R$
b) elige un punto de su circumferencia y traza un círculo de radio $r$

ahora la cuestión es elegir $r$ relativo a $R$ de manera tal que el area común a los dos círculos sea la mitad del area total de $R$ (es decir, $\pi R ^2$ ) Como bien dijo Gatito es inmediato de la construcción la estimación $R < r < R \sqrt{2}$
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Ty=Tobar
23/12/2009

Dani, asi lo he resuelto, el area delimitada, lo que he llamado la »interseccion» resulta ser justamente la mitad del terreno circular de alfalfa, echale un ojo al ejemplo numerico que he colocado mas atras.
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Ty=Tobar
23/12/2009

la relacion de mi radio tambien cumple la desigualdad que ha dado Gatito
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Dani
23/12/2009

Ty, si estas pensando en el dibujo que he descrito no es posible que afirmes que si llamamos (por seguir tu notación) $\sigma$ a la intersección de los círculos (o area del círculo de alfalfa a la que llega el burro) sea, en tus propias palabras:

«Analizando la interseccion de A’ y A, se ve numericamente que el area de la misma vale:
$\sigma = \pi (r^2-R^2 )$ »

por qué no lo pintas (o nos lo pintas) con las herramientas que ha dejado josejuan y nos indiques como exactamente se ve esa igualdad (¿numéricamente?). En el ejemplo numérico que pones se comprueba (que no demuestra) que tu solución es correcta PARTIENDO DE LA BASE DE QUE $\sigma = \pi (r^2-R^2 )$ . Por lo tanto es eso es lo que hay que justificar.

Sin embargo creo que es fácil ver que eso no puede ser cierto. Argumentemos por contradicción. Intentaré ser lo más claro posible. Empiezo escribiendo el enunciado de manera formal.

Supongamos que tenemos dos círculos en el plano:
$\mathcal{C}_1$ , de radio $R$ (centrado en el origen si se quiere, da igual), y
$\mathcal{C}_2$ , de radio $r$ y centrado en un punto FIJO de la circumferencia de $\mathcal{C}_1$

Sea $\sigma$ el area encerrada por $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$ , esto es:
$\sigma = area\big(\{$ interior de $\mathcal{C}_1 \} \cap \{$ interior de $\, \, \mathcal{C}_2 \}\big)$

Así pues la pregunta es:
¿Para qué valor de $r$ se cumple $\sigma = \frac{ \pi R^2 }{2}$ ?

Ahora supongamos que tenemos la relación
$\sigma = \pi ( r^2 - R^2 )$

En particular para $r = R$ se tiene $\sigma = 0$ , por lo que tendríamos que el area entre dos círculos del mismo radio, uno centrado en la circumferencia del otro es CERO.

Si con este absurdo no he conseguido convencerte ya si que tiro la toalla…
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Dani
23/12/2009

aquí está dibujado:

http://www.dabbleboard.com/public?created=Guest243874&myid=0
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HSD4
23/12/2009

Entiendo lo que dice Dani, pero relacion que ha dado Ty es valida, e imagino que asi lo penso, con el fundamento que se dio mas arriba, es decir el dedujo la relacion basandose en que r nunca debera ser igual R, recuerda la desigualdad dada por gatito: $R<r<R \sqrt[]{2}$ con lo que nunca sera R=r, hay cierta restriccion para el problema. Lo que dices es correcto pero hay que tener en cuenta que la relacion de radios se dedujo apartir de que cumpliera la desigualdad.
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sive
23/12/2009

A mí me sale el mismo valor que ha obtenido josejuan de 1’1587 veces el radio del campo del alfalfa, por un camino totalmente diferente (pero igual de ‘feo’), así que salvo una increible coincidencia de errores, debe ser el valor correcto.

A ver si alguien encuentra una forma más elegante de resolver esto.
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abcedario
23/12/2009

Creo que si la solucion del Ty fuera correcta, seria la mas accesible(y quiza elgante) al publico, pues usa geometria euclidiana
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sive
23/12/2009

Y para el valor de $\sqrt{\frac{3}{2}}$ me sale un área de alfalfa al alcance del burro de 1.71747, demasiado lejano del valor buscado.
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abcedario
23/12/2009

Sive, para que valor de R sacas ese resultado?, Para R=?
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Dani
23/12/2009

HSD4, no es que el problema esté restringido, es que simplemente la relación no es cierta. Para otro ejemplo pon $r=2R$ (que evidentemente daría $\sigma = 1$ independientemente del valor de $R$ ) y se vuelve a ver que no es compatible con la fórmula $\sigma = \pi (r^2- R^2)$ .

Por otra parte, sive, a mi me coincide también la respuesta, pues obtengo que el ángulo aquí dibujado:
http://www.dabbleboard.com/public?myid=0&created=Guest243874
me da $\Delta = 0.95287$ . Como se sigue por trigonometría elemental que $r = 2 \cos (\Delta)$ despejando obtengo $r= 1.1587 \ldots$

efectivamente es sospechoso que hayamos llegado al mismo punto por caminos tan dispares, pero creo que ninguno tenemos una respuesta elegante (ni exacta). :S…
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Dani
23/12/2009

(abecedario, esto es para $R=1$ )
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abcedario
23/12/2009

Por que para R=1, ese no es el valor que le da al Ty, el valor que le da es 1.5707…que es precisamente la mitad del area de un terreno circular de radio R=1.
Creo que lo que sucede es que no hay comprension con las relaciones que ha sugerido el Ty.(es decir, se reemplazan datos donde no se debe, y creo que si, el pudo haber utilizado una notacion mas sencilla(aunque no tiene mucho que influir) para que los demas pudieramos comprender un poco mas).
En fin, magnifica controversia.
Post a Reply
sive
23/12/2009

abcedario, 1.71747 es el área que obtengo cuando el radio del campo de alfalfa es 1, y la longitud de la cuerda a la que esta atado el burro es $\sqrt{\frac{3}{2}}$ .
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abcedario
23/12/2009

hmm, pero yo no obtengo eso, obtengo 1.5707….etc, que es precisamente pi partido por dos.(Mitad de area de terreno circular de alfalfa de radio R=1)
Post a Reply
sive
23/12/2009

Dani, yo he sido el más chapuzas de los tres. Aunque me convenció el razonamiento de josejuan, lo hice para confirmar nada más.

Primero enseñé al ordenador a integrar el área buscada a lo bestia, dividiendo la zona en rectángulos, y después apliqué una búsqueda binaria.

No tiene absolutamente nada que ver con lo que habéis hecho vosotros, y sin embargo el resultado es el mismo. Así que en mi cabeza no cabe la posibilidad de que el valor buscado no sea aproximadamente ese.
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HSD4
23/12/2009

buff :s , Ya no entiendo nada. la mitad del area de un circulo de radio 1 es 1.57 al ty le da eso, verifican otras formas y les da 1.71…luego 1.15, por ahi »disque» 1.31.. etc. Lo que creo es que no hay un buen feedback, no hay retro, en serio, no se estan entendiendo unos a otros. pero si la relacion del radi r y R esta mal, por que obtiene el resultado que es?(el de la mitad de un circulo(alfalfa) radio de R=1).

De verdad, ahora si dejan por fuera a los que no sabemos muy bien lo realizado a traves del post. por que nos dejan algo confusos.
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sive
23/12/2009

Pues yo estoy de acuerdo con sive, que además de gran aficionado a las matemáticas, es guapo y bien dotado (intelectualmente).

(Perdonen la broma, no he podido contenerme xD).
Post a Reply
Dani
23/12/2009

Dios, realmente soy completamente incapaz de expresarme.

HSD4, abecedario, mirad esta «solución» al problema:

El area al que puede llegar el burro para radio del círculo de alfala igual a $R$ y cuerda del burro $r$ está dada por

$A= 34 R \pi - 11re^2$

luego para hacer $A = \frac{\pi R^2}{2}$ necesitamos un radio $r = \frac{1}{11e^2} \big( 34 R \pi - \frac{\pi R^2}{2} \big )$

Comprobémoslo numéricamente: para $R=1$ me da que
$r= \frac{1}{11e^2}\big(34 \pi - \frac{\pi}{2} \big)$ , aproximadamente $r= 1.29483 \ldots$
¡ESTA DENTRO DE LA ESTIMACIÓN!

pero no quiere decir nada por que el area NO ESTÁ BIEN CÁLCULADA. No tiene sentido considerar cualquier resultado obtenido a partir del punto en el que escribes una igualdad que no es cierta. EXACTAMENTE LO MISMO PASA con
$\sigma = \pi(r^2-R^2)$
NO se obtiene el resultado que es. La «verificación» de Ty para el radio calculado USA SU MISMA SOLUCIÓN EN LA COMPROBACIÓN. Si se obtiene, también se obtiene con la «solución» que acabo de escribir aquí arriba- En efecto para el radio que he escrito vemos que:
$A = 34 \pi - 11 \cdot (1.29483 ) \cdot e^2 = 1.5707963 \ldots$
¡caramba, justo la respuesta correcta! ¡ increible !
NO! porque he usado mi misma fórmula en la comprobación…

no sé qué más maneras puede haber de explicarlo…
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sive
23/12/2009

He calculado la longitud de la cuerda con más precisión (no demasiada, integrar de esta manera es bastante costoso en tiempo de procesador), y si encima tengo que hacer una búsqueda binaria, mucho peor. Me sale 1.1587284.
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HSD4
23/12/2009

Miguel, Diamond o jorge, no creeis que ya es tiempo de dar el enlace de deductivo(con procedimiento) de la solucion?
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Pastrana
23/12/2009

Coincido en que sencillamente $\sigma$ no es igual a $\pi(r^2-R^2)$ . De hecho, $\pi(r^2-R^2)$ es el área de la corona que quedaría fuera del campo de alfalfa si atáramos al burro en el centro del campo, cosa que no tiene nada que ver con $\sigma$ en este problema.
Por otro lado, la solución que obtengo es la misma que la de josejuan y Dani, aunque yo lo hago sin hacer integrales, sino a partir de sectores circulares, llegando a una ecuación parecida a la de Dani.
Un saludo.
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Dani
23/12/2009

Pastrana, nos puedes explicar como lo haces? ( simple curiosidad matemática 🙂 )
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HSD4
23/12/2009

hmm si, esa ecuacion que propuso el Ty era un artificio para llegar a la relacion de los radios(que por cierto le funciono), pero igual ninguno tiene aun una respuesta rigurosa, asi que si alguno la lograis deducir , a ver si la puede publicar :).
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josejuan
23/12/2009

«sive» ¿de qué manera estás integrando?, ¿y que procesador tienes?, por muy lento que sea, usar una símple integración por trapecios y una búsqueda dicotómica no debería llevarle mucho tiempo (segundos como mucho), y el error se divide por dos cada vez lo que quiere decir que con calcular 32 integrales tienes un error menor de 2^-32 (salvando el que cometa tu integrador, que ya lo harás para que también sea menor…).

De todas formas, mejor que aproximar la integral es aplicar una fórmula cualquiera A(r) de las aportadas, ¿no?.
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HSD4
23/12/2009

Formulas que fueron dadas sin deduccion alguna. simplemente »disque» usando excel
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Pastrana
23/12/2009

Voy a intentar esquematizar el proceso, a ver si consigo explicarlo de manera sencilla. Las cuentas os las dejo a vosotros:

-Llamamos $r$ al radio del la circunferencia que «conocemos», el del campo de alfalfa.

-Sobre unos ejes de coordenadas, trazamos un semicírculo (que se supone lleno de alfalfa) con centro en $r$ que abarca desde el origen $O$ hasta $2r$ , y luego, con centro en el origen, trazamos otro de radio $R$ pero en vertical, es decir, sobre el eje $Y$ , que cortará al diámetro del la semicircunferencia de alfalfa en un punto $R$ .
-Es evidente que la intersección de estos dos semicírculos, a la que llamaremos $S$ , vale $\frac{\pi r^2}{4}$
-Llamo $Q$ al punto de interseción de las dos semicircunferencias que tenemos. Desde él, trazamos una perpendicular al eje $X$ y llamo al punto de interseccion $M$ . Así, el área $S$ nos queda dividida en dos partes. Además, podemos ver que tenemos un triángulo isósceles $OrQ$ , dividido en dos triángulos rectángulos el $OMQ$ y el $rMQ$ .
-Lamamos $\alpha = \widehat{MOQ}$ , por lo que el ángulo $\widehat{OrQ}=\pi-2\alpha$ .

Ya tenemos el dibujo hecho, ahora quedan las cuentas. Para ello, calculamos cuanto valen cada una de las partes en que la altura $QM$ divide a $S$ :

– Llamamos $S_{1}$ al área izquierda, delimitada por el segmento $OM$ , el segmento $MQ$ y un trozo de la semicircunferencia de radio $r$ (la de alfalfa). Y lógicamente llamo $S_{2}$ a la otra parte.

- $S_{1}$ es igual al área del sector circular que abarca el ángulo $\widehat{OrQ}$ menos el área del triángulo $rMQ$ , a la que llamaremos $T_{1}$ es decir:

$S_{1}=ASC(\pi-2\alpha, r)-T_{1}$

- $S_{2}$ es igual al área del sector circular que abarca el ángulo $\widehat{rOQ}$ menos el área del triángulo $OMQ$ , a la que llamaremos $T_{2}$ es decir:

$S_{2}=ASC(\alpha, R)-T_{2}$

-Sumando $S=S_{1}+S_{2}=ASC(\pi-2\alpha, r)+ASC(\alpha, R)-(T_{1}+T_{2})$

-Y como $T_{1}+T_{2}=T$ coincide con el área del triángulo $OrQ$ , nos queda una ecuación algo más sencilla de simplificar:

$ASC(\pi-2\alpha, r)+ASC(\alpha, R)-T=\frac{\pi r^2}{4}$

Bueno, una vez hecho ésto y teniendo en cuenta que $R=2rcos(\alpha)$ sólo queda simplificar al máximo (r se nos va) y resolver la ecuación resultante, en la que la incógnita es $\alpha$ .

Por cierto, para calcular $T$ es mejor hacer la fórmula de base por altura partido por 2, quedando:

$T=\frac{rRsen(\alpha)}{2}$

Un saludo y a hacer cuentas…

PS: la ecuación final se puede resolver por N-R o por algún método numérico.

Ah, y disculpad por la parrafada…
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Pastrana
23/12/2009

Por cierto Dani, me he dado cuenta de que la ecuación que yo obtengo es igual que la tuya pero multiplicada por 2 y sustituyendo $2\cos^2(\phi)-1$ por $\cos(2\phi)$ tras sacar factor común $\phi$ . Sólo que yo a $\phi$ lo llamo $\alpha$

Es decir:

$\frac{\pi}{2}+2\alpha\cos(2\alpha)-\sin(2\alpha)=0$

Un saludo!
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Nike
24/12/2009

me maree completamenteee alguien puede explicar bien el razonamiento punto por punto asi aprendemos los que menos sabemos pero tan interesados estamos en comprender la cuestion 🙂 graciassssssssss
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Gerard
24/12/2009

Aquí, en un dibujo, se puede ver de qué manera encontrar la susodicha área. Al final se llega a una ecuación en la que -imagino- será difícil o imposible aislar la R.

http://img13.imageshack.us/img13/561/dibujoxf.gif

Alguien que haya sacado la ecuacion de mi mismo modo ha aproximado algún valor de R coherente? O, si tenéis la ecuación pero ningún programa decente para calcular R, pasádmela y san Maple dirá.
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sive
24/12/2009

josejuan mi problema no es el procesador, mi problema es que en el ordenador no tengo instalado ningún compilador de C++ ahora mismo, y lo he hecho en PHP, que es interpretado… es decir, lentísimo.

No he usado ninguna fórmula del área de las dadas (especialmente la tuya) para no incurrir en razonamiento circular. Ya dije que lo hice sólo como confirmación, quería llegar a tu resultado por un camino totalmente diferente.
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josejuan
24/12/2009

«sive» entonces tu problema no es ni tu procesador ni tu compilador, eres tú (je, je).

Usando el método más bruto de todos para calcular la integral (método de montecarlo) y el más tonto para «despejar la x» (método de la bisección), no debería costar demasiado tener una aproximación.

He usado Perl que suele ser considerado más lento que PHP.

NOTA: no hace falta ser tan bruto, para calcular las áreas dado el radio podemos aplicar montones de fórmulas (como la mía o como la de algún compañero) y aplicar sólo la bisección para despejar la x.

Resultado de la ejecución
————————-
Radio estimado: 1.15833859504045
Error cometido: -0.000361404959552614
Tiempo invertido: 7 seg.

Código en perl
————–
#!/usr/bin/perl

use strict;

sub montecarlo {
my ( $r, $MI ) = @_;
my ( $r2, $ni, $nh ) = ( $r * $r, 0, 0 );
while( $MI– > 0 ) {
$ni++;
my ( $l, $a ) = ( sqrt( rand() ), rand() * 6.283185307179586476925286766559 );
my ( $x, $y ) = ( $l * cos( $a ), $l * sin( $a ) + 1 );
$nh++ if $x * $x + $y * $y < $r2;
}
return ( 1.0 * $nh ) / $ni;
}

sub biseccion {
my ( $a, $b, $NH, $e, $e2 ) = @_;
my ( $c ) = ( ( $a + $b ) / 2 );
return $c if abs( $a – $b ) < $e2;
my ( $m ) = montecarlo( $c, $NH );
return $c if abs( $m – 0.5 ) 0.5;
return biseccion( $c, $b, $NH, $e, $e2 );
}

my $t0 = time;
my $r = biseccion( 1, sqrt(2), 200000, 1e-4, 1e-8 );
my $t1 = time – $t0;

print «Radio estimado: $r\nError cometido: » . ( $r – 1.1587 ) . «\nTiempo invertido: $t1 seg.»;
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josejuan
24/12/2009

(NOTA: por algún extraño motivo han sido eliminados algunos símbolos del código [como el mayor qué])

¿Qué tipo de procesamiento se realiza a los comentarios enviados por nosotros? (por ejemplo, un procesamiento documentado es el de $ latex … $, otro no documentado es el de que si se «detecta» una URL se crea un link, etc…) ¿qué criterios se usan? (lo digo para escribir los post de forma que no se «degraden»)
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sive
24/12/2009

Ya, pero es que cuando intentas reducir el error, el número de operaciones necesarias para integrar se dispara. Por ejemplo, para llegar al octavo decimal, necesito dividir la zona en un millón de trapecios, si a esto le unes una busqueda binaria de 30 pasos, ya son 30 millones. No es que PHP se vaya a tirar media hora, pero aunque sean dos minutos, yo no tengo tanta paciencia.

Creo que no me he explicado bien. Decidí hacerlo ‘informáticamente’ en un momento en el que alguien había dado una fórmula, que ¿otros? lectores daban por buena (a pesar de la falta de demostración, y a pesar de los contraejemplos de Dani).

Por eso decidí hacerlo sin usar ningua fórmula, integrando a lo bestia, había que reducir el problema a lo más básico.
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Dani
24/12/2009

Ahí va la deducción paso por paso. Primero construimos el dibujo. Supongo $R=1$ . Centramos el campo de alfalfa, al que llamaremos $C_1$ en el punto $(1,0)$ de tal menera que toca el origen de manera tangencial. Precisamente en el origen atamos al burro. Con una cuerda de longitud $r$ se puede mover en un círculo centrado en el punto $(0,0)$ y con radio $r$ , al que llamaremos $C_2$ El area al que puede llegar del campo de alfalfa, a la que ya por costumbre es $\sigma = area(\{ \text{interior} \, (C_1) \} \cap \{ \text{ interior} \, (C_2) \} )$ El dibujo está aquí:

http://www.dabbleboard.com/public?created=danman90&myid=0

Lo que voy a hacer es calcular el ángulo $\Delta$ , delimitado por el eje de las $x$ positivas y el radio de $C_2$ que termina en la intersección $C_1 \cap C_2$

Primero notemos que para un radio fijo el ángulo determina completamente a la longitud del radio $r$ . Como
$C_1= \{ (x,y), \quad (x-1)^2 + y^2 = 1 \}$
$C_2= \{ (x,y), \quad x^2 + y^2 = r^2 \}$ ,
su intersección ocurre en en los puntos $2x = r^2$ , es decir, cuando $2\cos(\Delta) = r$ Así pues calcularemos $\Delta$ para luego obtener $r$ .

Como geométricamente la simetría está clara, buscaremos que:
$\tilde{\sigma} = area(\{ \text{interior} \, (C_1) \} \cap \{ \text{ interior} \, (C_2) \} \cap \{ x \geq 0 \} ) = \frac{\pi}{4}$ ,
es decir, solo nos preocuparemos de la parte superior. Para integrarlo en polares queremos describir el area en cuestión. Incrementando el ángulo desde $\theta = 0$ en el eje de las $x$ , vemos que el radio es constantemente el de $C_2$ , es decir: $\rho = r = 2 \cos (\Delta)$ hasta llegar justo al ángulo $\theta = \Delta$ .
A partir de ese ángulo va decreciendo el radio. Pero el cálculo ya lo hemos hecho (sustituir $\theta$ en $\Delta$ cuando calculamos la intersección $C_1 \cap C_2$ para un cierto ángulo.) y tenemos que para $\theta$ radianes el radio es $\rho = 2 \cos (\theta )$ (notemos que ahora el radio depende del ángulo y ademas es decreciente- efectivamente para $\theta = \frac{\pi}{2}$ tenemos radio cero como nos dice el dibujo). Como de hecho no tiene sentido integrar hasta más de $\frac{\pi}{2}$ , ahí nos paramos.

La integral es:

$\int_{0}^{\Delta}\int_{0}^{2\cos(\Delta)}\rho\,\,d\rho \, d\theta +\int_{\Delta}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{2\cos(\theta)}\rho\,\,d\rho \, d\theta$
$= \int_{0}^{\Delta} 2\cos^2(\Delta) \, d\theta + \int_{\Delta}^{\frac{\pi}{2}} 2 \cos^2(\theta) d\theta$
$= 2 \Delta \cos^2 (\Delta) + \int_{\Delta}^{\frac{\pi}{2}} 1 + \cos(2\theta) \, d\theta$
$= 2 \Delta \cos^2 (\Delta) + \frac{\pi}{2} - \Delta - \frac{1}{2}\sin(2\Delta)$

si igualamos esta última a $\frac{\pi}{4}$ obtenemos:
$2 \Delta \cos^2 (\Delta) + \frac{\pi}{4} - \Delta - \frac{1}{2}\sin(2\Delta) = 0,$
la fórmula que escribí antes. Si ahora se quiere encontrar el radio (una vez sacado $\Delta$ de este pifostio), se hace $r=2 \cos( \Delta)$ .

Trabajando al revés, y cogiendo de los cálculos de josejuan
$r=1.15833859504045$ se obtiene inmediatamente
$\Delta = 0.9530870131$ que metiéndolo en la ecuación da:
error = $-4.304426 \times 10^{-4}$

lo que hace pensar que está correcto. Por supuesto como matemático (o intento de) esa comprobación no me sirve ni me satisface…
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Ty
24/12/2009

Bien, creo que ahora si se ha dado una explicacion mas clara.
(Lo unico que deje fue la notacion 🙁 ), vamos pero interesante post, se ha llevado mas de 80 comentarios.
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Javier
24/12/2009

Hola

He buscado varias formas, y creo que la más elegante es con una «simple» integral. Lamentablemente la solución a la integral es trascendente, como dice Elías. Wolfram me ha ayudado a resolverlo al final.

Suponemos que el campo de alfalfa tiene radio 1, y la cuerda del burro mide R, está atado en el punto (1,0). Nos viene bien el cálculo del punto de corte de esas dos circunferencias, que para radio «r», es $x=1-\frac{r}{2}$
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sive
24/12/2009

josejuan lo que pasa con algunos símbolos es que WordPress permite escribir algunos tags HTML en los comentarios, y por esta razón los caracteres < y > no se pueden escribir directamente. Puedes escribirlos así:

< = <
> = >
& = &

Es decir, igual que en HTML.
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Javier
24/12/2009

Perdón, di a publicar antes de tiempo.

He buscado varias formas, y creo que la más elegante es con una “simple” integral. Lamentablemente la solución a la integral es trascendente, como dice Elías. Wolfram me ha ayudado a resolverlo al final.

Suponemos que el campo de alfalfa tiene radio 1, y la cuerda del burro mide R, está atado en el punto (1,0). Nos viene bien el cálculo del punto de corte de esas dos circunferencias, que para radio $r$ , es $x=1-\frac{r^2}{2}$

Planteamos la integral de trozos de corona circular centrados en [1,0] (donde atamos la cuerda), de espesor $dr$ y longitud $l$ , comprendidas dentro del circulo de alfalfa. El ángulo abarcado por $l$ es $2\alpha$
$\int_{0}^{R}l dr = \int_{0}^{R}2\alpha r dr$

Con el valor de x calculado antes, podemos sacar que $\alpha = \arccos(r/2)$

Nos queda la integral

$\int_{0}^{R}2 r \arccos(r/2) dr$

Igualando esta integral medio circulo de radio unidad, tenemos
$\frac{\pi}{2} = \int_{0}^{R}2 r \arccos(r/2) dr$

Para resolverlo he recurrido a Wolfram Alpha. He puesto pi/2 = integral(2*x*arccos[x/2]) en http://www.wolframalpha.com.
Lo podéis ver directamente en este enlace

Como véis, la solución de la ecuación no es posible analíticamente. El valor de 1.1587 coincide con alguno expuesto antes.
Saludos.
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Mephistro
25/12/2009

Buenas, soy un visitante y no tengo ni zorra de matemáticas, pero creo que puedo aportar una solución mejor 😉

Coges una cuerda de radio 2r y la atas de un extremo de la valla al contrario, para dividir el corral en 2. Casualmente es la única forma de garantizar que no van a quedar zonas de hierba sin aprovechar. Untad la cuerda con salsa picante para que los burros no la mordisqueen, y salid más a tomar el aire 🙂
¡Ah, y Feliz Navidad!
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José Luis
25/12/2009

Estoy deseando saber la respuesta Diamond. A mi me sale 1.31 :S
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Víctor
25/12/2009

Hola aquí dejo mi solución, no he usado ni trigonometría ni tampoco integrales, pero creo que está bien:
La solución que yo propongo es que la longitud de la cadena del burro debe ser l=R*sqrt(5)/2.
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Omar-P
25/12/2009

En el encabezamiento de este post Miguel y DiAmOnD ataron un burro, pero este problema se conoce como el problema de la cabra (The goat problem), el problema del toro atado (Bull-tethering problem) o también como el problema de vaca. En términos geométricos se trata se hallar el área de intersección entre dos círculos.
Aquí va un enlace:
http://www.mat.ub.es/~soria/Vaca.html
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Omar-P
25/12/2009

Aquí hay otro enlace:
http://mathworld.wolfram.com/GoatProblem.html
Como ya se ha dicho, la solución aproximada del problema es 1,158728473…
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Dani
25/12/2009

supongo que le cambiarían el nombre para evitar que los «listillos» lo buscaran en google jejeje. que curioso que en los links esté resuelto también tanto buscando el radio directamente como buscando el ángulo ese en cuestión…

que rabia que no tenga solución explícita… yo aun tenía ilusión por si a alguien se le ocurría una idea feliz 🙁
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Omar-P
25/12/2009

Tenemos la siguiente opción Dani: Demostrar que no existe una solución explícita o tratar de hallarla.
Aquí hay otro link, por si alguien no lo vió al final del primer enlace.
http://www.mat.ub.es/~soria/vacaproblem.pdf
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M
25/12/2009

Gracias por las referencias, Omar-P. La prueba geométrica del pdf también puede verse en el siguiente enlace:

http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/95/half.circle
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m_a_t
26/12/2009

sea $f(x)$ la curva que represente la circunferencia con centro en el origen y de radio $r$ la cual encierra a la alfalfa, sea $g(x)$ la funcion que representa la curva de radio $R$ (longitud de la cuerda que sujeta al burro en un punto del perimetro)que representa el movimiento del burro, y sea $(b_1,b_2)$ el punto de interseccion superior de las curvas, luego
$\displaystyle\frac{\pi r^2}{2}=\int_{r-R}^{b_1}2g(x)dx+2\int_{b_1}^r f(x)dx$
$\displaystyle\frac{\pi r^2}{4}=\int_{r-R}^{b_1}\sqrt{R^2-(x-r)^2}dx+\int_{b_1}^r \sqrt{r^2-x^2}dx$
$\displaystyle\frac{\pi r^2}{4}=[R(x-r)-\frac{(x-r)^3}{3R}]|_{r-R}^{b_1}+[xr-\frac{x^3}{3r}]|_{b_1}^{r}$
ahora el problema radica solamene en encontrar el punto de intersecion de las circunferencias.
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Víctor
26/12/2009

Bueno, parece que intenté hacer el problema por una idea feliz y me he dado cuenta de que hago una suposición-simplificación que no es correcta, aunque me gustaría que le echarais un ojo.

-El burro está anclado en el punto A de la «circunferencia prado», desde aquí trazamos un diámetro de la «circunferencia prado»: el diámetro AB.
-Trazamos el diámetro de la «circunferencia prado» que es perpendicular al diámetro AB, este diámetro es el CD.
-La circunferencia que describe la cabra corta al diámetro CD en los puntos P y P’; al diámetro AB en el punto M; y a la circunferencia prado en los puntos X y X’. (La notación (‘) indica que los puntos son simétricos respecto de AB)
-Para que la cabra solo pueda comerse medio «círculo prado» se debe cumplir que las áreas delimitadas por MOP y PCX sean iguales.
-La simplificación es suponer que esas áreas son iguales cuando el punto P es el punto medio de OC. Por tanto la longitud de la cadena que ata al burro (AP) es la hipotenusa de un triángulo de catetos AO y OP (que valen R y R/2 respectivamente).
-Así se llega a un resultado de R*sqrt(5)/2 que es aproximadamente 1.118 que se acerca bastante a la solución correcta.

Un ingeniero simplificador 😉
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Carlos
28/12/2009

Por definicion, la unica linea que divide a un circulo en dos partes iguales es el «diametro». No hay solucion.
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^DiAmOnD^
28/12/2009

Carlos, ¿y si la línea no es recta?
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Ty
28/12/2009

Si!, El problema mas comentado
Post a Reply
JotaSZ
29/12/2009

que problema mas comentado…

la respuesta es facil… los burros no comen alpiste…jjaa
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Américo Tavares
29/12/2009

Bem visto!
Post a Reply
Carlos
31/12/2009

La solución es:

para una circunferencia de radio R, el animalillo inteligente al que se denota por burro debe estar atado con un acuerda de longitud L:

L= sqr(3/2) * R
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Omar-P
31/12/2009

Antes de intentar resolver un problema primero es necesario entender su enunciado. También es conveniente leer todos los comentarios del post, sin excepción, pues puede darse el caso que la solución buscada ya haya sido expuesta.
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Felipe G.
01/01/2010

Un saludo de año nuevo para todos
….este problema me ha llevado mas de unas horas…
soy ingeniero y, francamente, las matemáticas asociadas a este problema me superan
sin matemáticas, en excel hice cuadrículas de 0,25 x 0,25; con esto hice un círculo base de 10 x 10 y un circulo de radio variable en su borde, calculando el número de celdas (área) intersección entre ambos
al variar el radio de este segundo círculo, encontré que el radio que define la solución al problema está entre 1 y 1,25

no es exacto, pero como ingeniero, sirve

saludos y feliz año nuevo!
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Omar-P
01/01/2010

Así se hacia en el antiguo Egipto…
Post a Reply
josejuan
01/01/2010

«…pero como ingeniero, sirve…»

Uhm… depende… depende… un 12,5% de error es mucho error…
Post a Reply
Omar-P
01/01/2010

Si bién es cierto que en ingeniería existe el concepto de «tolerancia», se ve que Felipe G. no leyó el comentario anterior al suyo.
Por otro lado, recuerdo haber leído en la web muchos chistes sobre la forma en que se abordan los problemas según las profesiones.
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Dani
01/01/2010

me parece absolutamente genial que haya posteado su solución a las 6:26 de la madrugada de fin de año jajajaj 😀
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Toppus
04/01/2010

Como ya puede verse en los post anteriores, y los links citados, este problema ya estaría resuelto (Argg, me venció totalmente.) En cualquier caso, yo no despreciaría la estimación que hizo Felipe G. Aunque tiene un error superior al 10%, es de notar que la aproximación es aún más cercana que la que aparece en un link citado, que situaba r entre 1 y sqrt(2)
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Elias Jurado
04/01/2010

Y si tan sólo lo ponemos a dieta? 😎
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el_dva
04/01/2010

«L= sqr(3/2) * R» esa solucion solo es valida si el burro esta a un extremo de del circulo. cosa que no esta mencionada. el burro puede estar en cualquier lado incluso en el centro.
Post a Reply
Dani
04/01/2010

Omar-P dijo: «Antes de intentar resolver un problema primero es necesario entender su enunciado. También es conveniente leer todos los comentarios del post, sin excepción, pues puede darse el caso que la solución buscada ya haya sido expuesta.» Aplicaos el cuento por favor.
Post a Reply
Adrián
05/01/2010

r=R^2 por raiz de 1/3
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Ty=Tobar
07/01/2010

aun hay quien cree en mi respuesta … :s
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hgom
07/01/2010

Una integral en polares de la intersección de una circunferencia de radio r (incógnita) y otra de radio R conocido (2Rsen(theta)) q da de resultado la mitad del área
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Walter
08/01/2010

Pues a mi me intereso bastante este problema y me la pase resolviendo por varios metodos y sigo llegando a soluciones algo curiosas que no puedo despejar y solo aproximarlas por metodos numericos («que no me satisfacen por completo») lo que deseo saber si alguien ya llego a la expresion que relacione «r» con «R» de manera exacta. Y en especial deseo saber si este problema tiene solucion por algun metodo que no conozca, ya probe con integrales normales, polares, paramètricas solamente me queda probar si en lugar de expresar los senos y cosenos tradicionales utilizar la variable compleja.
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Karlox
12/01/2010

hola bueno esto va para dani y jose juan no entiendo muy bien a lo que se refiere cuando dise el radio de la cuerda y diganme si estoy bien el burro esta atado en un punto de el perimietro de la circunferncia osea en un punto de la longitud de la circunferncia bueno luego lo que comeria la region que comeria seria una especie de elipse y eso sria la mitad digamme si estoy en lo cierto y que es eso de el radio de la cuerda ..quiero saber eso para intentar pensar ..
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Omar-P
12/01/2010

Se ve que hay un problema de comprensión de textos o de rechazo por la lectura, o de algún otro tipo.
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h29008
12/01/2010

2*x*cos(x)+pi=2*sin(x)
L=2*R*cos(x/2)

bueno esta es mi solución, sieno L el largo de la cuerda y R el radio del campo. Ese x es aproximadamente igual a 1.905
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Omar-P
12/01/2010

Increíble…
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Manolo
03/03/2010

bueno los que yo pienso es, que el burro no está en el centro, está en la cuerda de la circunferencia, por lo que me temo que no es lo que se buscaba.
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Sebas
03/09/2010

Propongo el mismo problema pero en 3D, el Burro volando dentro de una esfera.
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panchon
25/07/2013

Hay burros de orejas «muy re largas» y nosotros los de orejas mas cortas llegamos a R(soga del burro)=1,158728473*r(radio del campo circular de alfalfa)
Atte pancho
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panchon
25/07/2013

Tengo aca otro problema simpatico, pero no se como publicarlo, se titula el area menor bajo la curva y versa asi: dada una circunferencia de radio r y centro en (0,r) se pide calcular en funcion de r el area menor bajo la curva entre 0 y r/2 pero sin usar integrales ni trigonometria, nada de senos ni cosenos solo geometria plana y grafica es decir usar solo sumas de areas de cuadrados, circulos, triangulos y pitagoras, y sin hacer aparecer valores de angulos, sin tener una base grafica explicita para el valor de dicho angulo
Atte panchon
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Rodrigo
17/06/2015

45x\sqrt{4-x^2}=90\pi x^2-\alpha\pi x^2-\beta\pi

\sin\alpha=\dfrac{x}{2}

\sin\beta=\dfrac{2-x^2}{2}

Solo me queda solucionar ese sistema pero no se como
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Daniel García
01/04/2018

Buenos días.
Tengo solucionado este problema por dos procedimientos diferentes.
Está todo detallado y demostrado en un archivo PDF de 18 páginas.
EL problema es que no tengo idea de cómo se publica aquí un archivo PDF.

¿Puede alguien mostrarme cómo publicar un pdf?

Saludos. Daniel.
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ManosRojas
16/04/2018

Supongamos que el sembrado es un círculo de radio 1 centrado en un punto ‘O’, y que sobre el perímetro del campo, en un punto ‘P’ uno de los amigos coloca el poste al que atará un extremo de la cuerda de longitud ‘r’ (el otro extremo estará en el cuello de su borrico). Cuando este se mueva con su cuerda estirada, entrará al sembrado por un punto ‘E’, y saldrá por el otro lado, por el punto ‘S’. El segmento ES divide la parte del sembrado accesible al burro en dos segmentos circulares: uno de radio r (que contiene el punto ‘O’), y otro de radio 1 (más grande, que no contiene al punto ‘O’). Recordemos acá, que el área de un segmento circular de radio R y ángulo fi es:
${R^2 \over 2}(\varphi-\sin \varphi)$
La suma de ambas áreas debe ser pi/2, dado que el área total sembrada es de pi (hemos supuesto que el radio del sembradío es 1). De modo que:
${\pi \over 2} = {r^2 \over 2}(\alpha-\sin \alpha) + {1 \over 2}(\beta-\sin \beta)$
donde alfa es el ángulo EPS, y beta es el ángulo SOE. Éstos están relacionados: si se considera que el triángulo EOP es isósceles (OE = OP = 1, y además la longitud del lado desigual PE = r), el ángulo OEP es igual al EPO, que es además la mitad de alfa. Obviamente, el ángulo POE es la mitad de beta. Sumados todos, deben dar pi:
$\pi = \alpha/2 + \alpha/2 + \beta/2) \rightarrow \beta = 2 \pi - 2 \alpha$
Sea ‘M’ el punto intersección de los segmentos ES y OP. Está justo en el medio de ES.
El punto E está en el círculo de radio r y centro en P. Por lo tanto:
${r^2} = {{\overlineME}^2} + {{\overlineMP}^2}$
El punto E está en el círculo de radio 1 y centro en O. Por lo tanto:
${1} = {{\overlineME}^2} + {{\overlineMO}^2}$
Como OM + MP = 1, se llega a:
${r \over 2} = {\overbrace{MP} \over r} = \cos {\alpha\over 2}$
Volviendo ahora a nuestra fórmula para la suma de las áreas de los segmentos circulares, nos queda que:
${\pi \over 2} = 2 (\alpha-\sin \alpha) \cos^2 {\alpha \over 2} + {1 \over 2}(2 \pi -2 \alpha - \sin (2 \pi - 2 \alpha)$
Agrupando los términos con factor común alfa, y recordando que
$\sin (2 \pi -2 \alpha)=-\sin 2\alpha$
se obtiene:
${\pi \over 2} = \alpha (2 \cos^2 {\alpha \over 2} - 1) + \pi - (2 \cos^2 {\alpha \over 2} - \cos \alpha)\sin \alpha$
Recordando que
$2 \cos^2 {\alpha \over 2} - 1 = \cos \alpha$
y reemplazando adecuadamente, se llega a:
${\pi \over 2} = \sin \alpha - \alpha \cos \alpha$
Si se itera a partir de alfa=1,8 (debe ser algo mayor a 1,57 (ángulo recto)) se puede obtener el valor de 1,905696 (correspondiente a 109º11’18»). Como
$r = 2 \cos {\alpha \over 2}$
se obtiene el valor de la longitud de la cuerda que sujetará al rucio: 1,158728. Si r no mide 1, debes multiplicar este valor por la verdadera longitud del radio del sembradío. Tengo una duda: ¿será iracional este número? Si se contrata un talabartero moderno, que trabaja con máquinas con control numérico (que sólo usan racionales) no podrá completar el trabajo más que haciendo un ajuste manual de la longitud, lo cual encarecería demasiado la adquisición de la correa. Además de depender del largo del pescuezo del borrico en el momento de alimentarse (si tiene mucha hambre y hace mucha fuerza, la ley de Hook asegura que la correa se alargaría). La determinación de la irracionalidad de este número sí que sería un problema difícil.
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- ManosRojas
  16/04/2018
  
  Las fórmulas que no se ven salen de la aplicación del teorema de Pitágoras a los segmentos PE y OE.
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Luis Cervantes
09/07/2019

Si R es el radio del terreno circular y r es el radio buscado (longitud de la cuerda), entonces r debe ser tal que:

πr² = πR² . De donde, r = R.
De modo que la longitud de la cuerda del burro debe ser igual al radio R del terreno circular.

La explicación es que con una longitud de la cuerda igual al radio R del terreno, el burro puede «barrer» un círculo con un área igual a la del terreno, pero solo la mitad de ella queda dentro de este. La otra mitad quedaría por fuera.
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Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$ .

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

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