El nivel de la selectividad en China

La Real Sociedad de Química de Gran Bretaña piensa que el nivel de matemáticas de los alumnos británicos es bajo. Y para demostrarlo ha ofrecido un precio de 500 libras (unos 730 €) a quien resuelva el siguiente problema que algunas universidades chinas plantean a los alumnos que quieren acceder a carreras de ciencias (la primera expresión que aparece no es una resta, es, por decirlo así, el nombre del prisma):

Problema de selectividad en China

Tiene pinta de no ser muy sencillo, al menos para nivel de Bachillerato en España. A ver si lo resolvemos entre todos.

Gracias a gism y tota13 por mandarme los enlaces a la cuenta de del.icio.us del blog.

P.D.: Mala semana de publicación. El tiempo escasea en estas fechas. Pero no os preocupéis, intentaré seguir publicando artículos míos y colaboraciones que tengo en el mail. Por cierto, podéis seguir mandando ideas y artículos a gaussianos [arroba] gamil [punto] com.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

30 Comentarios

  1. Lo siento pero ese artículo del país tiene toda la pinta de ser sensacionalismo barato, si bien es cierto que el problema es algo alto para lo estándares españoles, no tanto por los conocimientos empleados( poco más que el teorema de Pitágoras, el producto escalar y conocimientos básicos de geometría del plano) sino por la literatura empleada en la redacción del problema y el dibujo infernal,desde luego no es para dar premios de 500 libras por resolverlo. Todo lo más puede merecer una invitación a unas cervezas.

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  2. Estoy totalmente de acuerdo con el comentario anterior. Si bien el problema es algo complicado para el nivel de Segundo de Bachillerato, la mayoría de alumnos deberían poder responder sin demasiados problemas al menos el primer apartado. Creo que ofrecer 500 libras es exagerado.

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  3. Símbolo para indicar perpendicularidad: (T)
    A(sub1) = A’

    1) ¿ BD(T)A’C ?
    Según los datos del problema, BD(T)AC … luego el plano que contiene a la recta AC es perpendicular a BD… en dicho plano está incluido el triángulo A’AC, que tiene como hipotenusa el segmento A’C… por tanto BD(T)A’C

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  4. Hablan del nivel de matemáticas de los británicos, no de los españoles, a lo mejor ellos llegan a la universidad con saber hacer raíces cuadradas jejeje.

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  5. Pues yo creo que cualquier alumno de 2 de bachillerato tecnologico o cientifico (vamos los que dan mates de verdad) que haya estudiado medianamente el bloque de geometria lo saca sim problemas. No es mas que ecuaciones de la recta, del plano y los miticos problemas que salian.

    Muy mal deben andar en Inglaterra!!!

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  6. El nivel de matemáticas de los británicos no es ni de conia el de los Espanioles. Ni en el insitituto, ni en la universidad. Ellos si tienen de que preocuparse con eso.

    Nuestro problemas son otros, como por ejemplo los “titulos nobiliarios” frente lo poco que se valora la formacion profesional. Y luego, claro, las cosas se caen y no es culpa de pitágoras precisamente.

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  7. Es un problema bonito.
    El diagrama no es “infernal”, solo tiene pretensiones indicativas.

    Se pueden resolver las preguntas con conocimientos básicos de geometría, el teorema de Pitágoras, un poco de trigonometría, y productos escalares.

    Todos conocimientos de bachirellato.

    Además los valores del problema están elegidos para facilitar los cálculos.

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  8. Cierto, mea culpa.Lo de “infernal” era por exagerar un poco y no desentonar con la noticia en sí. Pero creo que es lo que hace parecer el problemas más difícil de lo que es.

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  9. Soy estudiante de segundo de bachillerato 😛 a ver si puede hacer el primer apartado xDD – no he mirado aun los comentarios –

    Asi sin numeros (que contestacion mas caotica sera entonces xDD y encima hace pruf que no toco la geometria xDDDD), cogere (como referencia) el plano formado por ABCD como el “plano X”, entonces el vector AC no tendria componente Z (el que tira para arriba xDD). Ok, la diferencia del vector AC y A1C es precisamente la componente Z. Asi quedaria, creo:
    AC (a, b, 0)
    A1C (a, b, c)

    ya “tengo” un vector de la pregunta, ahora a por el otro: como ya he tomado como referencia mi plano X, el vector BD tambien esta dentro de ese plano, y por tanto tampoco tendra componente Z

    BD (d, e, 0)

    Aplicacando la definicion de perpendicularidad (el producto escalar es igual a 0)…
    BD * AC = 0 // Enunciado //
    a*d + b*e (+ 0*0) = 0

    BD * A1C = a*d + b*e + 0*c = a*d + b*3 = 0 (mirar BD * AC).

    O… simplemente, AC es la proyeccion de A1C sobre el plano formado por los puntos ABCD. y si BD es perpendicular a AC, pues A1C tambien lo es.

    Saludos 🙂

    (me imprimire el problema y a ver si mañana me da por seguir mirandolo xDD)

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  10. ups… se me escapo un 3 por ahi xDD

    BD * A1C = a*d + b*e + 0*c = a*d + b*e = 0 (mirar BD * AC).

    3, e… son tan parecidos! xDD

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  11. ups xDD para que lo mio funcione el sistema generador tiene que ser
    S(AD, AB, AA1)

    Ale, ahora creo que si xDD

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  12. yo ya no recuerdo las mates, pero mirando por encima no parece muy complicado,senos cosenos, ángulos y demás, cuando estaba en tercero de bup hacia problemas de este tipo como churros..
    aunque seguro que los pre universitarios de uk no lo hacen ni dopados, en un curso pre universitario tuve yo que enseñarles a unos cuantos a hacer reglas de 3, y ecuaciones de primer grado…

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  13. La verdad que tan sólo observando el ejercicio pensé lo mismo que leí en algunos comentarios. Es un problema que no requiere conocimientos avanzados, de hecho, podría considerarse un problema bastante fácil. Pero como le dije una vez a mi profe de termodinámica: “Las pruebas que usted hace no son difíciles, son complicadas”. Que no es lo mismo. Complicado se refiere a que por lo enredado que es, uno tiende a confundirse. Difícil, es que se requieran demasiados conocimientos para aplicarlos. Ahora bien, la complejidad, sí contribuye un poco a aunmentar en cierta medida la dificultad. Igual interesante, pero con esa sarta de segmentos no me dan ni ganas de resolverlo.
    Estaba pensando que sería más divertido aún si en vez de aristas tuviese vectores con distintos sentidos y te pidieran calcular producto cruz entre todos todos ellos en algún orden determinado. Ya me imagino con varias páginas llenas de determinantes menores xD!

    PablosckY, respecto a tu comentario me entra una duda. ¿Fue ironía o en serio en España no os enseñan a calcular raíces cuadradas en la escuela?

    Aquí nos enseñan por tanteo en 8vo grado (+- a los 14 años) y luego por el algoritmo para calcular las raíces cuadradas entre 2º y 4º de secundaria (+- entre los 15 y 18 años). Claro, en los colegios particulares. Lamentablemente en chile aun hay una brecha muy grande entre la deficiente educación pública y la privada.

    Como sea … sigo creyendo que el problema es complicado, pero no difícil.

    Saludos desde Chile.
    Samy!

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  14. A ver, muchas cuentas feas, muchas relaciones pero creo que todas justificadas…

    La demostración es bastante fácil, suponemos dos planos, uno que contiene a los puntos A A’ C C’ en vertical y otro que tiene a B B’ D D’. Suponemos los vectores normales a cada plano, y como cada plano pasa por AC y BD respectivamente y estas rectas eran perpendiculares, también lo serán sus vectores normales, osea, los planos son perpendiculares. Así, cada recta incluida en un plano será perpendicular a cada recta incluida en el otro plano. Como A’C’ está incluida en uno y BD en el otro, éstas son perpendiculares. También se puede demostrar con la notación de paralelos y perpendiculares, pero para describirlo con planos es más fácil.

    El segundo da un ángulo de 90º

    Del triángulo ADC planteé la ecuación y obtuve que AC es igual a 4. Entonces, AE + EC = 4. Así, se plantean los triángulos ADE y EDC y obtengo AE y EC en función de ED. Reemplazo a ambos en la ecuación AE + EC, y me queda una ecuación con sólo ED. Elevo términos al cuadrado, despejo y finalmente ED = raiz(3).
    Reemplazando en AE y EC, queda AE = 1 y EC = 3.
    Planteando los triángulos AA’E y ECC’ obtengo con el seno los ángulos A^E^A’ = 60º y C^E^C’ = 30º. El ángulo restante es entonces 90º, y es el ángulo entre los segmentos A’E y EC’, contenidos en los planos, o sea, el ángulo entre los planos.

    Para el 3º me dio 63.5º apróx., pero no sé, entré en duda… considerando sólo la base, hay un ángulo de 60º entre las rectas DA y BC. Ahora, sobre un mismo plano que contiene la cara BB’CC’, la recta BC’ forma un ángulo de 26.5º con respecto a la recta BC (despejado con tangente Q = raiz(3)/2raiz(3) ). O sea, un vector está corrido tanto en horizontal como en vertical con respecto al otro. La única forma “fácil” que se me vino es usar coordenadas esféricas.

    Supuse que había un vector sobre la recta AD, y otro sobre la recta BC’. Ahora, si considero al sistema de referencia con centro en “la intersección de AD con BC”, entonces llamo n1 = (1,0,0) al vector que pasa por la recta AD (o sea, a la recta la tomo como el eje x) y llamo n2 al que pasa por BC’. Para calcular n2:

    x = r*cos W*cos T
    y = r*cos W*sen T
    z = r*sin W

    (no me las acordaba, pero las busqué en la wiki pedia :P)

    Entonces, T es el ángulo con respecto al plano xz (o sea, con respecto al plano que contiene a A’C’AD) y W es el ángulo con respecto al plano xy (la base de la figura).

    T = 60º, como ya dijimos, y W = 26.5º… (que era lo que descendía desde la base de la figura) pero negativo porque el ángulo es tomado hacia abajo: W = -26.5º. Además, considero versores (módulo unitario) para facilitar los cálculos.

    Entonces:
    x = 1*cos -26.5º*cos -60º
    y = 1*cos -26.5º*sen -60º
    z = 1*sen -26.5º

    x = 1*(0.89)*1/2
    y = 1*(0.89)*(-raiz(3)/2)
    z = 1*(-0.446)

    x = 0.446
    y = -0.446*raiz(3)
    z = -0.446

    n2 = ( 0.446, -0.446*raiz(3), -0.446 ).

    Ahora, “sólo” 😛 queda sacar el ángulo Q entre ambos vectores:

    n1 . n2 = |n1|.|n2|.cos Q
    (1,0,0).(0.446,-0.446*raiz(3),-0.446)=|n1|.|n2|.cos Q
    0.446 = 1 . 1 . cos Q
    0.446 = cos Q

    Q = acos(0.446)

    Pasado a grados: acos(0.446)*180/ = 63.5º apróx.

    http://img413.imageshack.us/my.php?image=puntostt7.jpg

    Aparentemente por este gráfico estaría bien: el vector n1 sería el segmento GRIS-FUCSIA y el n2 sería GRIS-AZUL. n1 pertenece a la recta AD y n2 pertenece a la recta BC’. El punto GRIS sería la intersección de ambas si se extendieran de la figura, y ésta estaría vista desde la cara ABB’A’. Espero que esté bien, porque no me acordaba mucho el tema de las coordenadas y demás :P…

    Pero si estando en ingeniería me costó un poco, no podría ni pensar en encarar algo así para ingresar a la universidad O.o.

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  15. me olvidaba: que qde claro que puede haber otras formas de resolverlo… pero, ángulos entre rectas alabeadas?? seguramente había una fórmula pero no me la acuerdo, las coordenadas sonaron más prácticas.
    Si la idea es que los chinos no superpueblen las universidades, creo que este es un buen método :P.

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  16. ultimo detalle xD: las rectas son alabeadas, en el grafico que postee simplemente hice un traslado del vector para utilizar el mismo punto de aplicacion y poder calcular el angulo con las coordenadas más fácilmente. listo, ultimo posteo :S.

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  17. Pues yo diría que es fácil, siempre y cuando no te fijes en el dibujo, el cual lo qeu hace es fastidiar

    Por ejemplo, AD perp AC y AC perp BD no se ven así en el dibujo.

    Puesto para confundir, ya digo.

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  18. Pues yo veo el dibujo bastante bien logrado (recordemos que son tres dimensiones dibujadas en solo dos dimensiones).

    AD y AC no son perpendiculares porque forman un ángulo de 60º
    AC y BD sí lo son, pero si hacemos un dibujo respetando su perpendicularidad entonces ya no tendremos una perspectiva caballera (la que utiliza los tres ejes x,y,z) sino que tendremos una vista de planta en la que desaparecerían las líneas AA’, BB’, CC’, etc (serían simples puntos) y además las líneas AB, BC, CD y DA quedarían ocultadas por A’B’, B’C’, C’D’ y D’A’.

    En fin, que aunque no podamos emplear una escuadra para comprobar la perpendicularidad … prefiero el dibujo tal y como está hecho.

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  19. Muy interesante el artículo. Además, puede bajar el libro 36 ESTRATEGIAS CHINAS desde http://www.personal.able.es/cm.perez/36_estrategias_chinas.pdf

    Describe estratagemas como “moverse sin ser visto en el mar a plena luz del día”, “matar con una espada prestada” o “crear algo a partir de la nada”. Cuando usted domine estas 36 estrategias, estará preparado para encontrar soluciones a cualquier tipo de problema y será capaz de adaptarse a toda clase de circunstancias.

    Para mas información, y mas temas relacionados con la cultura china: http://www.personal.able.es/cm.perez/

    Un saludo

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  20. Hablando del dibujo, que no sé si viene muy a cuento… Nexus7 hablaba de que se ha usado perspectiva caballera. Perspectiva caballera es cuando en su representación axonométrica se ve el alzado en verdadera magnitud, ¿en esa representación se ve así? ¿Se ve el alzado frontalmente? Disculpa si me equivoco.

    Yo hago primero de Bachillerato, y este problema presentaría grandes dificultades a la mayoría. A estas alturas hemos hecho poco de geometria y en matemáticas casi no nos han enseñado a tener esta “visión espacial”, que algunos podríamos agradecer a la asignatura de Dibujo Técnico.

    La primera respuesta ahora mismo nos seria en general posible de dar, las otras dos creo que muy poca gente aguantaría sin decir “bah, paso”.

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  21. Enric no creo que debas preocuparte, parte de lo necesario para resolver esta materia se tendría que dar en 2º de bachillerato (Al menos en el antiguo C.O.U. se hacía, hay que recordar que es un ejercicio de Selectividad.) que es donde se debe estudiar el espacio afín y el euclídeo.

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  22. ¿Qué es un prisma cuadrado? Yo no veo ningún cuadrado ni en la definición ni en el dibujo…

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  23. Enric, donde dije “caballera” debería haber dicho “axonométrica”.

    AD y AC no son perpendiculares porque forman un ángulo de 60º
    AC y BD sí lo son, pero si hacemos un dibujo respetando su perpendicularidad entonces ya no tendremos una perspectiva axonométrica (la que utiliza los tres ejes x,y,z)

    Nota para los puristas: En realidad sí se podría hacer un dibujo axonométrico con AC perpendicular a BD, pero entonces nos “cargaríamos” la perpendicularidad de AA’ y AC de la que ahora disfrutamos.

    En cuanto al dibujo técnico y la visión espacial … pues no sé hasta que punto lo primero conlleva lo segundo. Hombre, qué duda cabe que a base de insistir año tras año con figuras y representaciones es muy probable que tarde o temprano al estudiante se le acabe encendiendo la lucecita de la visión espacial, pero tengo serias dudas de que ese sea un buen método. Yo más bien diría que tener visión espacial hace que sea más ameno y llevadero asistir a las clases de dibujo. Yo al menos nunca vi a ninguno de mis profesores intentar que los alumnos jugaran con figuras, todos ellos simplemente se limitaron a explicar las representaciones presuponiendo que los alumnos ya poseían una correcta visión espacial; espero que eso haya cambiado en todos estos años.

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  24. Oleg, hay un error de traducción. En el problema viene “como se aprecia en el diagrama, es un prisma cuadrado”, pero debería decir “como se aprecia en el diagrama, es un prisma recto”. (todos los ángulos de todas sus caras verticales son ángulos rectos, y por lo tanto todas sus caras verticales forman cuadrados o rectángulos)

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  25. Nexus7, ahhh, joer, entonces el problema se simplifica mucho, ¿no?
    Ya decía yo que estaba terminando el primero de carrera y no podía resolver el problema…

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  26. Para aquellos que les parezca fácil el problema (o exagerado el premio!) debo recordarles que se trata de la educación inglesa, no española.
    Soy química por una Universidad española y ahora doy clases en una Universidad inglesa. No me extraña el premio por dos razones: 500 libras no son tantas libras 🙂 y el nivel en matemáticas de los estudiantes es bastante bajo.
    Para ejemplo … un “botón” 🙂 Tenían que encontrar el máximo de una función, pues bien, sólo a un estudiante se le ocurrió calcularlo derivando. Todos los demás representaron la función gráficamente y “miraron” cual era el máximo!

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  27. Qué curioso, bueno yo no se si con mi nivel al salir del bachillerato lo hubiese tenido tan claro, ahora tras tres años en una ingeniería me parece un problema excesivamente fácil xD, un saludo.

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  28. La verdad es que acabo de terminar 2º de bachillerato creo que bastante fácilmente y el problema no me resulta nada fácil… Es cierto que no soy muy dado a tener buena “visión espacial” y tampoco he hecho nunca dibujo técnico.

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