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El problema de los cuatro cuatros

El problema de los cuatro cuatros es uno de los juegos matemáticos más interesantes que me he encontrado ( y por qué no decirlo, llegado un punto es de los más complicados). Vamos a ver si entre tod@s conseguimos terminarlo, o al menos llegar lo más lejos posible. Vamos con las reglas:

El objetivo del juego es obtener todos los números naturales del 0 al 100 usando únicamente cuatro cuatros. Las operaciones permitidas son las siguientes: suma, resta, multiplicación, división, concatenación (usar el 44 es válido y en ese caso habriamos utilizado ya dos cuatros), el punto decimal (es lícito escribir .4 si queremos poner cero coma cuatro), potencias (44 está permitido, y lo escribiremos 4^4, gastando así dos cuatros), raíces cuadradas (si queremos poner raíz cuadrada de 4 escribiremos Sqrt(4) para entendernos), factoriales [1] y números periódicos (para entendernos pondremos 0.4… si queremos poner cero coma cuatro periódico). También podemos usar paréntesis como creamos conveniente.

Hay muchos sencillos, pero hay otros bastante complicados. Yo os voy a poner algunos a modo de ejemplo:

0 = 4 – 4 + 4 – 4
1 = 4/4 + 4 – 4
4 = 4*(4 – 4) + 4
7 = 4 + 4 – 4/4
12 = (Sqrt(4) + Sqrt(4) + Sqrt(4))*Sqrt(4)

El resto os tocan a vosotr@s en los comentarios. Yo iré actualizando el post con los que vayáis poniendo.

Por cierto, evidentemente hay páginas por ahí donde se pueden encontrar algunas soluciones. Aunque a tod@s nos pica la curiosidad con estas cosas lo suyo sería que cada uno intentara encontrar los resultados sin mirar a ningún sitio. Recordad, es un juego para pensar un poco y entretenernos, no estamos compitiendo con nadie.

Bueno, pues nada más. Espero vuestras respuestas ) .

Números conseguidos:

0 = 4 – 4 + 4 – 4
1 = 4/4 + 4 – 4
2 = (4/4) + (4/4)
[neok]
3 = ((4*4) – 4)/4 [neok]
4 = 4*(4 – 4) + 4
5 = sqrt(4)+sqrt(4)+4/4
[Popolous]
6 = sqrt(4)*(4-4/4) [Popolous]
7 = 4 + 4 – 4/4
8 = 4*sqrt(4) + 4 – 4
[Popolous]
9 = (4-4/4)^sqrt(4) [Popolous]
10 = 4*sqrt(4) + 4/sqrt(4) [Popolous]
11 = 44/(sqrt(4)*sqrt(4)) [Popolous]
12 = (Sqrt(4) + Sqrt(4) + Sqrt(4))*Sqrt(4)
13 = 44/4 + sqrt(4)
[Popolous]
14 = 4*4 – 4/sqrt(4) [Popolous]
15 = 44/4 + 4
16 = sqrt(4)*sqrt(4)*sqrt(4)*sqrt(4)
[Popolous]
17 = 4^sqrt(4) + 4/4 = 4*4+4/4 [Popolous las dos]
18 = 4^(4/sqrt(4))+sqrt(4) = 44/sqrt(4)-4 [Popolous las dos]
19 = 4! – 4 – 4/4 [Popolous]
20 = (4/4+4)*4 [Popolous]
21 = 4! – 4/4 – sqrt(4) [Popolous]
22 = 4*4 + 4 + sqrt(4) [@GonzaloChess [2]]
23 = 4! – sqrt(4)*sqrt(4)/4 [Popolous]
24 = 4! + 4 – sqrt(4) – sqrt(4) [Popolous]
25 = 4! + sqrt(4)*sqrt(4)/4 [Popolous]
26 = 4! + sqrt(4)*sqrt(4)/sqrt(4) [Popolous]
27 = 4! + 4/4 + sqrt(4) [Popolous]
28 = 4! + 4*4/4 [Popolous]
29 = 4! + 4 + 4/4 [Popolous]
30 = ((4+4/4)!)/4 [Popolous]
31 = ((4! + 4) / 4) + 4! [mimetist]
32 = 4^sqrt(4)+4^sqrt(4) [Popolous]
33 = 44/(sqrt(.4…)*sqrt(4)) [deibyz]
34 = ((4·4)·Sqrt(4)) + Sqrt(4) [neok]
35 = (4!) + (44/4) [neok]
36 = (4!*4!)/(4*4) [Popolous]
37 = ( 4! + Sqrt(4) ) / Sqrt(.4…) – Sqrt(4) [deibyz]
38 = 44 – (4 + Sqrt(4)) [neok]
39 = ( 4! + 4 – Sqrt(4) ) / Sqrt(.4…) [deibyz]
40 = (4!) + (4!) – 4 – 4 [neok]
41 = ( 4! + Sqrt(4) ) / Sqrt(.4…) + Sqrt(4) [deibyz]
42 = 44 – (4/Sqrt(4)) [neok]
43 = 44 – (4/4) [neok]
44 = 44 + 4 -4 [Popolous]
45 = 44 + (4/4) = (4 + Sqrt(4))! / (4·4) [neok]
46 = ((4!)·4 – 4)/Sqrt(4) [neok]
47 = ((4!)·4 – Sqrt(4))/Sqrt(4) [neok]
48 = (4!)·Sqrt(4) + 4 – 4 [neok]
49 = 4! * sqrt(4) + 4/4 [deibyz]
50 = (4!)·Sqrt(4) + 4 – Sqrt(4) [neok]
51 = (4!/,4…) – Sqrt(4/,4…) [homero]
52 = (4!)·Sqrt(4) + Sqrt(4) + Sqrt(4) [neok]
53 = (4!/,4…) – 4/4 [homero]
54 = (4!/,4…) + 4 – 4 [homero]
55 = (4!/,4…) + 4/4 [homero]
56 = 4! * sqrt(4) + 4 + 4 [deibyz]
57 = (4!/,4…) + Sqrt(4/,4…) [homero]
58 = (4!/,4) – 4/Sqrt(4) [homero]
59 = (4!/,4…) + Sqrt(4)/,4 [homero]
60 = (4!/,4…) + 4/Sqrt(,4…) [homero]
61 = (4!/,4) + 4/4 [homero]
62 = (4!/,4…) + 4 + 4 [homero]
63 = (4^4-4)/4 [^DiAmOnD^]
64 = 4! * sqrt(4) + 4 * 4 [deibyz]
65 = (4!/,4) + Sqrt(4)/,4 [homero]
66 = (4!/,4…) + 4!/Sqrt(4) [homero]
67 = ((4! + 4)/,4…) + 4 [Ender MuabDib]
68 = (4!/,4) + 4 + 4 [homero]
69 = (4!/,4) + 4/,4… [homero]
70 = (4!/,4…) + 4*4 [homero]
71 = (4!+4.4)/.4 [Javi R.]
72 = (4!*4!)/(sqrt(4)*4) [Popolous]
73 = (4! + 4! + Sqrt(,4…))/Sqrt(,4…) [homero]
74 = 4!+4!+4!+sqrt(4) [Lukis]
75 = (4!+4!/4)/.4 [Javi R.]
76 = 4!+4!+4!+4 [Lukis]
77 = (4/.4…)^sqrt(4)-4 [Javi R.]
78 = (4!-4)·4-Sqrt(4) [Javi R.]
79 = (4/.4…)^sqrt(4)-sqrt(4) [Javi R.]
80 = ((4^sqrt(4))/,4) * sqrt(4) [Ender MuabDib]
81 = (4-4/4)^4 [Popolous]
82 = (4!-4)·4+ sqrt(4) [Javi R.]
83 = (4/.4…)^sqrt(4)+sqrt(4) [Javi R.]
84 = 44·Sqrt(4)-4 [Javi R.]
85=(4/.4…)^sqrt(4)+4 [Javi R.]
86 = 44/.4-4! [Lukis]
87 = (4! * 4) – (4/,4…) = ((4! + 4)/,4…) + 4! [Ender MuabDib los dos]
88 = (4^4)/4 + 4! [deibyz]
89 = (sqrt(4)+4!)/.4+4! [Javi R.]
90 = (4 + Sqrt(4))! / (4·Sqrt(4)) [neok]
91 = (4! * 4) – (sqrt(4)/,4) [Ender MuabDib]
92 = 44 + 4! + 4! [deibyz]
93 = 4!·4-sqrt(4/.4…) [Javi R.]
94 = (4!)*4 – 4 + Sqrt(4) [neok]
95 = 4*4!-4/4 [Lukis]
96 = 4 * 4! + 4 – 4 [deibyz]
97 = 4 * 4! + 4/4 [deibyz]
98 = 4! * 4 + 4 – Sqrt(4) [deibyz]
99 = ((4! – Sqrt(4)) * Sqrt(4) ) / .4… [deibyz]
100 = 4! * 4 + Sqrt(4) * Sqrt(4) [deibyz]

Actualización: Hace un tiempo vi en esta anotación de Microsiervos [3] una fórmula para obtener cualquier número natural con cuatro cuatros. Pero incluía un 2, ya que había que hacer N + 2 raíces cuadradas. Yo la he adaptado para que ese 2 no aparezca y ha quedado esto:

Es decir, si queremos obtener el número N tenemos que hacer N raíces cuadradas. Podéis probar y sorprenderos con la fórmula.