Hola Miguel Vaquer. Bienvenido a ForoGauss :).
Piensa que al sumar dos matrices A y B nos queda una matriz, A+B, que cumple que su traza es la suma de las trazas de las dos primeras. Como de entrada partes de que las trazas de A y de B valen cero, entonces la traza de A+B, al ser suma de las trazas de las otras dos, también vale cero. Por tanto la suma de matrices de H también es un elemento de H.
Y con el producto por un número real la situación es parecida, ya que, dado k un número real, se tiene que
$$tr(k \cdot A)=k \cdot tr(A)$$
ya que en la matriz k·A todos los elementos de la diagonal principal quedan multiplicados por k. Por tanto, partiendo de que A pertenece a H tenemos que tr(A)=0, por lo que
$$tr(k \cdot A)=k \cdot tr(A)=k \cdot 0=0$$
y en consecuencia el producto de una matriz de H por un número real también es un elemento de H.
Esto prueba que H es un espacio vectorial sobre R.
Si te queda alguna duda vuelve a preguntar :).
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