José, hasta ahora sólo conseguí esto.
\( p=q=r=s \)
Entonces se tiene que \( 4p^2+1=4p \) de donde llegamos a una función cuadrática cuya raíz es \( p=1/2 \). Y este valor por supuesto hace válida la hipótesis, entonces basta con reemplazarlo en la expresión pedida y haciendo las cuentas nos queda que \( p^3+q^3+r^3+s^3 = 4p^3 = 4*(1/8) = 1/2 \)
El problema es ahora como demostrar que la condición \( p=q=r=s \) es la única válida para resolver el problema o si hay otra más. Y eso no puedo lograrlo.
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