El trabajo fue largo. Elevando al cubo x+y+z=3 y usando la ec. x^3+y^3+z^3=15 y con reescritura llegue a 3(x^2+y^2+z^2)+2xyz=19 (**).
Con la misma idea eleve x+y+z=3 a la quinta y usando las anteriores ecs. llegue a xyz=-1 (–), de donde reemplazando en (**) es: x^2+y^2+z^2=7 (++).
Ahora x+y+z=3 al cuadrado es (x^2+y^2+z^2)+2(xy+xz+yz)=9, y usando la ec. (++) se obtiene: xy+xz+yz=1, factorizando es x(y+z)+yz=1, reemplazandole la primera ec. y+z=3-x y la ec. (–) yz=-1/x se obtiene: x(3-x)-1/x=1, o sea, x^3-3x^2+x+1=0 cuyas soluciones son x1=1, x2=1+sqrt(2), x3=1-sqrt(2).
Considerando x=1 y reemplazando en la primera ec. y en la ec. (–) se obtienen: yz=-1 e y+z=2, de donde y=1+sqrt(2) y z=1-sqrt(2) o al revés.
A causa de la simetría del sistema las soluciones son todas las permutaciones de 1, 1+sqrt(2) y 1-sqrt(2).
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