Buenos días, Manuel David.
Una manera de resolver tu cuestión, es demostrando que sea un monomio f(x)=ax^n, entonces la derivada n-esima es a·n!, donde n! es el factorial de n (n!=n·(n-1)·…·2·1). Por tanto, la derivada (n+1)-esima es la derivada de a·n!, que es 0 por ser una función constante. Todas las derivadas de orden superior a n serán 0.
Como nuestro polinomio es f(x)=fn(x)+…+f1(x)+f0(x), donde f_i son monomios de grado <=n, y como la derivada n+1-esima de la suma es la suma de derivadas n+1-esimas, y éstas son 0 por tener un orden superior al grado del polinomio (como demostramos antes), obtenemos que la n+1-derivada del polinomio de grado n es 0.
Puedes poner ejemplos sencillos y derivar cuanto quieras. Seguro que cuando llegues a n+1 te da 0.
A partir de aquí podemos plantear otra cuestión, y es la de si toda función infinitamente derivable en donde exista un n tal que f^(k)(x)=0 para todo k>=n, es un polinomio.
Últimos comentarios