El dominio es de la función original $\R \setminus \{1\} $.
Si sustituyes $x=1$ en la expresión $(x^2-1)/(x-1)$ obtienes $0/0$, que no está definido.
Al simplificar $(x^2-1)/(x-1)=x+1$ estás dividiendo numerador y denominador entre $x-1$. Esto sólo lo puedes hacer si $x-1$ es distinto de $0$ porque, insisto, no se puede dividir entre $0$. Así que la igualdad $(x^2-1)/(x-1)=x+1$ sólo es cierta si $x$ es distinto de $1$.
Si el denominador se anula, el punto no pertenece al dominio, independientemente de que el numerador se anule o no.
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