#49511
Ignacio Larrosa Cañestro
Invitado

Suponiendo que se trata de cuestiones independientes:

A) x+2y+3z=6,x=0,y=0,z=0

Se trata del volumen situado en el primer octante bajo el plano x+2y+3z=6. La intersección de este plano con el plano Oxy es x+2y=6. Entonces, para calcular el volumen mediante integrales, podemos poner

∫(∫((6-x-2y)/3 dy, 0,(6-x)/2) dx, 0, 6) = ∫((x – 6)^2/12 dx, 0, 6) = 6

Pero no hacía falta usar integrales, ya que se trata de una pirámide que tiene de altura 2 y base un triángulo rectángulo de catetos 3 y 6, V = 1/3 (1/2 3·6)·2 = 6

D) Se trata de del volumen del elipsoide 36x^2+9y^2+4z^2=36. Se puede escribir como x^2 + y^2/4 + z^2/9 = 1, por lo que sus semiejes son 1, 2 y 3. La intersección con el plano Oxy es la elipse x^2 + y^2/4 = 1, por lo que el volumen, dada la simetría respecto de las tres variables, se puede calcular como 8 veces el comprendido en el primer octante:

V = 8∫(∫(3√(1 – x^2 – y^2/4) dy, 0, 2√(1 – x^2)) dx, 0, 1) = 12π ∫((x^2 – 1)/2 dx, 0, 1) = 8π

Para lo que nuevamente no necesitábamos integrales, ya que el volumen de un elipsoide de semiejes a, b y c es V = 4/3 π abc.

Aqui tienes una imagen tridimensional del tetraedro y el elipsoide: Imagen

Si se trata de calcular un solo volumen limitado por todas las superficies dadas, la cuestión es algo más complicada, vuelve a preguntar.