Es decir, z=1+i
y se quiere calcular
1+z+z^2+z^3+z^4+…..+z^2017
Lo cual es una evidente SERIE GEOMÉTRICA de razón precisamente z (con z=1+i)
Esto es un problema tipificado. La FÓRMULA para la SUMA DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA general es (en palabras):
ÚLTIMO TÉRMINO por la RAZÓN, menos el PRIMER TÉRMINO; y todo lo anterior dividido por la RAZÓN MENOS 1
[a(n)*r – a(1)] / (r-1)
Aquí el último término es z^2017
El primer término es 1
Y la razón de la progresión geométrica es z=1+i, con lo cual r-1 = i
De esto se sigue que LA SUMA BUSCADA ES
[(z^2017)*z – 1] / i = (z^2018 – 1) / i
El subcálculo de z^2018 es inmediato si se hace en forma polar, arrojando un resultado de
2^1009 [módulo] y pi radianes [argumento]
Lo cual es lo mismo que decir -(2^1009)
Ahora a esto le restamos 1 (lo cual apenas cambia el valor absoluto del enorme número):
-(2^1009)-1
Y finalmente dividimos eso por i, lo cual arroja un número imaginario puro. En concreto y exactamente:
[(2^1009) + 1] * i
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