Lo he expuesto en la clase de matemáticas de las prepas en queretaro y esto es lo que hayamos.
La integral se puede resolver utilizando la fórmula de integración por partes:
∫ u dv = u v – ∫ v du
Primero, vamos a encontrar la derivada de la función d[-1/(e^x+1)]/dx. Usando la regla de la cadena, tenemos:
d/dx (-1/(e^x+1)) = (-1) d/dx (e^x+1)^(-1) = (-1) (-e^x)/(e^x+1)^2 = e^x/(e^x+1)^2
Por lo tanto, podemos escribir la integral como:
∫ dx (x^(2n)/(2n)! * e^x/(e^x+1)^2)
Ahora, definamos u = x^(2n) y dv = e^x/(e^x+1)^2 dx, de modo que:
du/dx = 2n x^(2n-1)
v = -1/(e^x+1)
Aplicando la fórmula de integración por partes, tenemos:
∫ dx (x^(2n)/(2n)! * e^x/(e^x+1)^2) = u v – ∫ dx v du/dx
= -x^(2n)/(2n)! * 1/(e^x+1) – 2n/(2n)! ∫ dx x^(2n-1) * (-e^x)/(e^x+1)^2
Para resolver la integral restante, podemos utilizar una técnica de sustitución. Definamos t = e^x, de modo que:
dt/dx = e^x = t
y
dx = dt/t
Sustituyendo en la integral, tenemos:
-2n/(2n)! ∫ dt t^(2n-1) * (-1)/(t+1)^2
= (-2n/(2n)!) ∫ dt (t/(t+1)^2) * (t^(2n-1)/(2n-1))
= (-2n/(2n)!) ∫ dt (t/(t+1)^2) * (t^2/(2n-1))^(n-1)
La integral restante puede ser evaluada usando una fórmula para una función beta incompleta. La fórmula es:
∫ dt (t/(t+1)^2) * (t^2/(2n-1))^(n-1) = B(2n-2n+1, n) = (n-1)!/(2n-1)!
Por lo tanto, la solución final es:
x^(2n)/(2n)! * 1/(e^x+1) + 2n/(2n)! * (n-1)!/(2n-1)!
= -x^(2n)/(2n)! * 1/(e^x+1) + (n-1)!/(n! (2n-1))
= -x^(2n)/(2n)! * 1/(e^x+1) + 1/(n (2n-1)Cn)
Evaluando esta expresión en los límites de integración de -∞ a +∞, obtenemos:
∫(-∞,+∞) dx (x^(2n)/(2n)! * e^x/(e^x+1)^2) = 2 * (-1/(2n)!) * 1/(1+e^x) |(-∞,+∞) +
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