Bueno tal esta idea para ver que \( {\displaystyle \lim_{n \to \infty}n\left( 1- \dfrac{\log n}{n} \right)^{n}} =1 \)
Pienso que se puede hacer demostrando que \( {\displaystyle \lim_{n \to \infty} \log \left[ n\left( 1- \dfrac{\log n}{n} \right)^{n} \right] }=0 \)
Es decir \( {\displaystyle \lim_{n \to \infty} \log n + n \log \left( 1-\dfrac{\log n}{n}\right) =0} \), usando que \( \log x \leq x-1 \) y aplicándolo a \( x=1-\dfrac{\log n}{n} \) ya se tiene una desigualdad que es
$$ \log n + n \log \left( 1-\dfrac{\log n}{n} \right) \leq \log n +n\left[ \left( 1-\dfrac{\log n}{n} \right) -1\right] =0 $$
Lo que no se ve sencillo es demostrar la otra.
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