Inicio ForoGauss Matemáticas Dudas/Consultas 2^p + 3^p nunca puede ser (x+n)² – Demostración

  • Este debate tiene 2 respuestas, 1 mensaje y ha sido actualizado por última vez el hace 1 mes, 1 semana por Manuel Amorós.
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  • #51661 Responder
    Caio Medeiros
    Invitado

    Buenas tardes a todos, soy un nuevo usuario de este foro que busca una respuesta a la siguiente cuestión.

    Enunciado: Demuestra si p= número primo que 2p + 3p nunca puede ser un cuadrado perfecto.

    (Adjunto desarrollo propio)

    Cosas a saber:

    1- Para que un número sea cuadrado perfecto tiene que cumplir la siguiente forma (x+n)²

    2- Número primo par: 2

    Cosas a demostrar

    1 – 2² + 3² ≠ cuad. Perfe.

    2- 2p + 3p ≠ cuad. Perfe. -> con p ≠ 2

    3- 2² + 3p ≠ cuad. Perfe. -> con p ≠ 2

    Caso 1: 2p + 3p con p ≠ 2

    (x+n)² + xp = (x+n)²

    x² + n² + 2xn + xp = x² + n² + 2xn

    x= 01/p (Lo pongo de esta forma porque no sé poner raíces en base p aquí)

    Por lo tanto, esto solo se cumple si x = 0 pero si x = 0, no se está sumando.

    Caso 2: 2² + 3p con p ≠ 2

    Este caso se autodemuestra con el Caso 1.

    Caso 3: 2² +3²

    Generalizando esta expresión -> (x+n)² + (x+n+1)² = (x+n)²

    x²+n²+2xn+(x+n+1)(x+n+1) = x²+n²+2nx

    x²+n²+2nx+2x+2n = -1

    2 posibilidades:

    – x y n = Z+ => x²+n²+2xn+2x+2n ≠ -1

    – x y n = Z- => x²+n²+2xn+2x+2n > -1

    En este caso, me he apoyado de ejemplos => x = -1

    n = -2 => 1+4+4-2-4 > -1

    Esto ocurriría con números muy grandes.

    Por lo tanto, llego a una conclusión que 2p + 3p ≠ cuad. Perf.

    Mi intención con esta pregunta es saber si este desarrollo estaría correcto y podría demostrarse así.Incluyo que algunas personas me recomiendan hallar una demostración utilizando el pequeño teorema de Fermat ( ap-1 ≡ 1 mod p ), pero no creo que sea necesario utilizarlo para demostrar esto.

    Aclaro que muchos números me los ha deselevado, no sé por qué.

    Gracias por leerlo, y ansio una respuesta,

    Caio Medeiros.

    #51710 Responder
    juan manuel
    Invitado

    CAIO

    Te hago 3 comentarios;

    El primero, es que este portal está inactivo en cuanto a convocatoria.

    El segundo, es que tu planteo ya ha sido ampliamente debatido en los siglos 17, 18 y 19 por personas a las cuales tú, yo y cualquier otro que te lea no podríamos igualar en genio ni teniendo 10 vidas de mil años cada una.

    El tercero, lo que Fermat descubrió fue el Teorema Fundamental de la Aritmética; la suma de dos números es igual a la raíz de su cuadrado.
    Es decir, que a+b es igual a la raíz de c2. Por lo tanto, xn+yn no puede ser igual a zn. Y su explicación, el por qué ocurre ello, lo encontrarás al derivar el 5to caso de factoreo qué te recomiendo el Libro de Los números Cuadrados de Leonardo de Pisa traducido por Paul Ver Eecke.

    Sds.

    #51745 Responder
    Manuel Amorós
    Invitado

    La demostración es bastante sencilla si recurrimos al pequeño teorema de Fermat. No entiendo por qué en el enunciado pones (x+n)^2. Si se trata de un cuadrado perfecto bastaría con referirse a n^2.

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Respuesta a: 2^p + 3^p nunca puede ser (x+n)² – Demostración
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