Inicio ForoGauss Matemáticas Dudas/Consultas Apoyo con el cálculo de la siguiente suma:

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  • #11720 Responder
    Michael
    Invitado

    1/(k*(k+1)*(k+3)) desde k=1 hasta n

    #11721 Responder
    Damiancete
    Invitado

    Yo empezaría por separar en fracciones simples y a ver que vas sacando de ahí…

    Por cierto, ¿ese último (k+3) será un (k+2)? Porque sino mi pista no sé si será muy buena.

    #11722 Responder
    Miguel
    Invitado

    hola damiancete, agradezco hayas revisado mi pregunta. El problema está enunciado con (k+3) en el denominador, he intentado multiplicar numerador y denominador por (k+2) y luego tratar de separar en fracciones parciales, pero no puedo resolverlo.

    #11723 Responder
    Damiancete
    Invitado

    Intentaré pensarlo un poco más, así a bote pronto es lo único que se me ocurre.

    #11725 Responder
    Karl
    Invitado

    Damiancete puedes tomar B(k)=(4+3k)/6k(k+1)(k+2), entonces se cumple que

    a(k)=1/(k*(k+1)*(k+3))=B(k)-B(k+1) por lo tanto tu serie es telescópica así:

    a(1)+a(2)+…+a(n)=B(1)-B(2)+B(2)-B(3)+…+B(n)-B(n+1)=B(1)-B(n+1)=(7/36)-B(n+1)

    Justo en este momento estoy viendo un curso de series y estoy atascado con esta que nos dejo el profesor a(n)=((n-Log(n))/n)^{n} ,si alguien me puede ayudar a demostrar que diverge le agradecería muco

    #11726 Responder
    Gaussito
    Invitado

    La pista de Damiancete puede ser buena. La fracción indicada se puede descomponer en fracciones simples de la siguiente forma:
    $$\frac{1}{k(k+1)(k+3)}=\frac{1/3}{x}+\frac{-1/2}{(x+1)}+\frac{1/6}{(x+3)}$$

    #11727 Responder
    bakarti
    Invitado

    Al hilo de Gaussito (a ver si está bien escrito…):

    $$\frac{1}{3}H_n-\frac{1}{2}\left(H_n-1\right)-\frac{1}{6}\left(H_n-\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)\right)$$

    Ver en la wiki «número armónico»:

    #11728 Responder
    bakarti
    Invitado

    Correcciones:

    \frac{1}{3}H_n-\frac{1}{2}\left(H_n+\frac{1}{n+1}-1\right)+\frac{1}{6}\left(H_n+\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}\right)-\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)\right)

    Tal vez esto se acerque más.

    #11729 Responder
    Juanjo Escribano
    Invitado

    Karl

    O no lo he visto bien o tu serie es convergente u oscilante.

    La base es menor que 1 por lo que la exponencial esta acotada por [0,1] luego no puede ser divergente.

    No recuerdo mucho, pero la serie se convierte a (1-LN(n)/n)^n y ese tipo de series converge a e^-LN(n) = 1/e^LN(n) =1/n que converge a 0 (este último párrafo a revisar)

    #11730 Responder
    Juanjo Escribano
    Invitado

    Perdona Karl,

    mantengo que no es divergente pero ahora recuerdo que el ejemplo que he utilizado no es correcto.

    Las series (1-a/n)^n convergen a e^-a, pero en este caso el numerador depende de n, luego no se puede usar

    #11731 Responder
    Damiancete
    Invitado

    Aplicando el criterio del cociente a la serie de Karl y usando alguna equivalencia sencilla para calcular el límite que queda me sale (1/e)<1, por lo tanto es convergente

    #11733 Responder
    Karl
    Invitado

    Si al principio pensé lo mismo que ustedes pero luego de aplicar cuanto criterio habíamos visto (cociente, raabe,raíz enésima,criterio de logaritmo) y ver ninguno decidía, le puse la serie a Mathematica con SumConvergence[a(n),n] y me voto False, claro sin demostración alguna

    #11734 Responder
    Juanjo Escribano
    Invitado

    Karl,

    Se pueden eliminar mis comentarios.

    Lo ví como una sucesión, no como una serie que hay que sumar.

    #11735 Responder
    Damiancete
    Invitado

    Efectivamente, WolframAlpha dice que la serie diverge… Algo debí hacer mal, lógicamente. Pues yo repasaría los cálculos del criterio logarítmico y sino por comparación (pero no se me ocurre con cual comparar).

    #11736 Responder
    gaussianos
    Superadministrador

    La serie

    $$\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty} \cfrac{1}{k(k+1)(k+3)}}$$

    es convergente. Se puede ver usando comparación por paso al límite comparando con

    $$\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty} \cfrac{1}{k^3}}$$

    que es claramente convergente (es el caso \( p=3 \) de la armónica generalizada).

    La pista de Damiancete de separar en fracciones simples es la buena. Si no me equivocado en las operaciones la suma da \( \frac{1}{2} \).

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