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1/(k*(k+1)*(k+3)) desde k=1 hasta n
Yo empezaría por separar en fracciones simples y a ver que vas sacando de ahí…
Por cierto, ¿ese último (k+3) será un (k+2)? Porque sino mi pista no sé si será muy buena.
hola damiancete, agradezco hayas revisado mi pregunta. El problema está enunciado con (k+3) en el denominador, he intentado multiplicar numerador y denominador por (k+2) y luego tratar de separar en fracciones parciales, pero no puedo resolverlo.
Intentaré pensarlo un poco más, así a bote pronto es lo único que se me ocurre.
Damiancete puedes tomar B(k)=(4+3k)/6k(k+1)(k+2), entonces se cumple que
a(k)=1/(k*(k+1)*(k+3))=B(k)-B(k+1) por lo tanto tu serie es telescópica así:
a(1)+a(2)+…+a(n)=B(1)-B(2)+B(2)-B(3)+…+B(n)-B(n+1)=B(1)-B(n+1)=(7/36)-B(n+1)
Justo en este momento estoy viendo un curso de series y estoy atascado con esta que nos dejo el profesor a(n)=((n-Log(n))/n)^{n} ,si alguien me puede ayudar a demostrar que diverge le agradecería muco
La pista de Damiancete puede ser buena. La fracción indicada se puede descomponer en fracciones simples de la siguiente forma:
$$\frac{1}{k(k+1)(k+3)}=\frac{1/3}{x}+\frac{-1/2}{(x+1)}+\frac{1/6}{(x+3)}$$Correcciones:
\frac{1}{3}H_n-\frac{1}{2}\left(H_n+\frac{1}{n+1}-1\right)+\frac{1}{6}\left(H_n+\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}\right)-\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)\right)
Tal vez esto se acerque más.
Karl
O no lo he visto bien o tu serie es convergente u oscilante.
La base es menor que 1 por lo que la exponencial esta acotada por [0,1] luego no puede ser divergente.
No recuerdo mucho, pero la serie se convierte a (1-LN(n)/n)^n y ese tipo de series converge a e^-LN(n) = 1/e^LN(n) =1/n que converge a 0 (este último párrafo a revisar)
Perdona Karl,
mantengo que no es divergente pero ahora recuerdo que el ejemplo que he utilizado no es correcto.
Las series (1-a/n)^n convergen a e^-a, pero en este caso el numerador depende de n, luego no se puede usar
Aplicando el criterio del cociente a la serie de Karl y usando alguna equivalencia sencilla para calcular el límite que queda me sale (1/e)<1, por lo tanto es convergente
Si al principio pensé lo mismo que ustedes pero luego de aplicar cuanto criterio habíamos visto (cociente, raabe,raíz enésima,criterio de logaritmo) y ver ninguno decidía, le puse la serie a Mathematica con SumConvergence[a(n),n] y me voto False, claro sin demostración alguna
Karl,
Se pueden eliminar mis comentarios.
Lo ví como una sucesión, no como una serie que hay que sumar.
Efectivamente, WolframAlpha dice que la serie diverge… Algo debí hacer mal, lógicamente. Pues yo repasaría los cálculos del criterio logarítmico y sino por comparación (pero no se me ocurre con cual comparar).
La serie
$$\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty} \cfrac{1}{k(k+1)(k+3)}}$$
es convergente. Se puede ver usando comparación por paso al límite comparando con
$$\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty} \cfrac{1}{k^3}}$$
que es claramente convergente (es el caso \( p=3 \) de la armónica generalizada).
La pista de Damiancete de separar en fracciones simples es la buena. Si no me equivocado en las operaciones la suma da \( \frac{1}{2} \).
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