Tengo que reconocer que he sido un poco perezoso y todos los limites de los criterios lo ha hecho Wolfram no yo, pero gracias a la idea de Damicete he comparado la serie con 1/n y el limite (tambien dado por wolfram) es 1>0, lo que prueba que diverge.

Así que mi problema se reduce a demostar que en efecto n*a(n)–> 1, sin usar a Wolfram

La pregunta de Michael en principio ya estaba contestada, o por lo menos encaminada. Un pequeño detalle es que la suma a calcular era desde k=1 hasta n, no hasta infinito. Y en este último caso parece ser que da 7/36 y no 1/2.

Seguiremos pensando entonces en el problema que propuso Karl…

Bueno tal esta idea para ver que \( {\displaystyle \lim_{n \to \infty}n\left( 1- \dfrac{\log n}{n} \right)^{n}} =1 \)

Pienso que se puede hacer demostrando que \( {\displaystyle \lim_{n \to \infty} \log \left[ n\left( 1- \dfrac{\log n}{n} \right)^{n} \right] }=0 \)

Es decir \( {\displaystyle \lim_{n \to \infty} \log n + n \log \left( 1-\dfrac{\log n}{n}\right) =0} \), usando que \( \log x \leq x-1 \) y aplicándolo a \( x=1-\dfrac{\log n}{n} \) ya se tiene una desigualdad que es

$$ \log n + n \log \left( 1-\dfrac{\log n}{n} \right) \leq \log n +n\left[ \left( 1-\dfrac{\log n}{n} \right) -1\right] =0 $$

Lo que no se ve sencillo es demostrar la otra.