Inicio ForoGauss Matemáticas Dudas/Consultas Ascensores

  • Este debate tiene 4 respuestas, 1 mensaje y ha sido actualizado por última vez el hace 9 años por Julián.
Viendo 5 publicaciones - del 1 al 5 (de un total de 5)
  • Autor
    Mensajes
  • #11679 Responder
    Pedro galán
    Invitado

    Supongamos un edificio que tiene dos ascensores. uno de ellos tiene marcador de altura y el otro no. El edificio tiene 12 plantas. Sólo puedes llamar a uno a la vez, y quieres minimizar el tiempo de espera. Suponiendo que los dos se mueven a la misma velocidad. ¿En qué casos llamarías a uno o a al otro para esperar menos tiempo en cogerlo? ¿Y si el edificio tiene n plantas?

    #11681 Responder
    Pedro galán
    Invitado

    ¿Y si vivo en una planta x, voy a una planta y, en un edificio de n plantas, con los ascensores en las condiciones anteriores? ¿Qué estrategia maximizaría la probabilidad de minimizar el tiempo de espera?

    #11704 Responder
    Julián
    Invitado

    Hola Pedro, yo lo plantearía de esta forma:

    a = Posición del ascensor A (con marcador de altura)
    b = Posición del ascensor B (sin marcador de altura)
    x = mi posición actual
    n = número de plantas
    T = tiempo que tarda un ascensor en subir o bajar 1 planta
    t1 = tiempo de espera si cojo el ascensor A
    t2 = tiempo de espera si cojo el ascensor B

    El tiempo de espera estará en función de la distancia entre mi posición y la posición actual del ascensor, luego:

    t1 = T |x-a|
    t2 = T |x-b|

    El problema es que «b» no lo conocemos con exactitud, pero suponiendo que existe una probabilidad uniforme de que esté en cualquiera de las plantas tenemos que:

    P(b=k) = 1/n, es decir, la probabilidad de que b sea algún piso en concreto es 1/n. Luego el tiempo esperado al coger el ascensor B sería:

    $$ t_2 = \sum_{i=1}^n P(b=i)T|x-i| $$
    $$ t_2 = \sum_{i=1}^n \frac{1}{n}T|x-i| $$
    $$ t_2 = \frac{T}{n} \sum_{i=1}^n |x-i| $$

    Resolviendo esta sumatoria para determinado «n» te darás cuenta que t2 tiende a ser más pequeño cuando «x» se encuentra en las plantas del medio, y tiende a ser grande cuando «x» se encuentra en los extremos.
    Ahora la minimización del tiempo de espera resultará del mínimo entre t1 y t2:

    $$t_{min} = min(t_1,t_2)$$
    $$t_{min} = min(T |x-a|,\frac{T}{n}\sum_{i=1}^n |x-i|)$$
    $$t_{min} = T*min(|x-a|,\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n |x-i|)$$

    (Editado por ^DiAmOnD^ para arreglar el \( \LaTeX \).)

    #11709 Responder
    Pedro Galán
    Invitado

    Que bueno Julián!!!

    Me encanta la forma tan sencilla que has encontrado de explicarlo. He desarrollado un poco el sumatorio y parece que finalmente el tmin=T∗min(|x−a|,|x−((n+1)/2)|).

    Gracias por la respuesta!

    #11718 Responder
    Julián
    Invitado

    He estado pensando un poco acerca de la sumatoria, y veo lo siguiente: $$\sum_{i=1}^n |x-i| = \sum_{i=1}^x (x-i) + \sum_{i=x+1}^n -(x-i)$$
    $$\sum_{i=1}^n |x-i| = x^2-\frac{x(x+1)}{2} -x(n-x) + \frac{n(n+1)-x(x+1)}{2}$$
    $$\sum_{i=1}^n |x-i| = x^2-x(x+1) -x(n-x) + \frac{n(n+1)}{2}$$
    $$\sum_{i=1}^n |x-i| = x(x-n-1) + \frac{n(n+1)}{2}$$

    Luego, el \(t_{min}\) si no me equivoco vendría a ser algo como:
    $$t_{min} = T*min(|x-a|,\frac{x(x-n-1)}{n}+\frac{n+1}{2}$$

Viendo 5 publicaciones - del 1 al 5 (de un total de 5)
Respuesta a: Ascensores
Tu información: