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En la siguiente figura (que llamaremos triángulo infinito, y del cual mostramos sólo una
parte), diremos que dos vértices (números) son adyacentes si están unidos por una línea.0
1 2
3 4 5
6 7 8 9 …// las líneas forman triángulos
Definimos la función f (n) como la suma de todos los números adyacentes a n. Sabiendo esto,
determine f (2014).Buenas Sebastián. He publicado el problema en el blog y ya han respondido:
Un saludo :).
Si orlamos el triángulo a la izquierda con -1, 0, 2, 5, … y a la derecha con 1, 3, 6, 10, … (anteriores y siguientes del triángulo original respectivamente) se observa que la fórmula pedida para este nuevo triángulo es simplemente 6*n+2. El lado izquierdo del triángulo original es la sucesión 0, 1, 3, 6, 10, … de valor i*(i+1)/2 para cada fila i. Si buscamos i para 2021 vemos que está el la fila 63 que comienza por 2016, por lo tanto f(2021)=12128
Faltaba indicar los valores de la fórmula para los bordes. Para el borde izquierdo es n*4+i+4 y para el borde derecho n*4+i+1. Para calcular i a partir de n hay que resolver i*(i+1)/2 = n (borde izquierdo) y para n-1 (borde derecho) y tomar la raíz positiva (si da un resultado no entero se trata de un valor interior).
Nota aclaratoria: Tomando las diferencias de los resultados se observa que son constantes (6 para los valores interiores y 4 para los bordes) lo que indica que se trata de relaciones lineales. Los coeficientes de estas relaciones lineales se obtienen por simple sustitución en cualquiera de los valores de la tabla obteniéndose las fórmulas señalados anteriormente.
Tengo una posible solución, pero tengo que definir la función f(n) por partes y además usar cosas como función parte entera. Tengo la impresión de que debe haber alguna forma más sencilla, pero no se me ocurre. ¿Querés que comparta la solución que encontré?
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