Por favor ayuda con el siguiente problema
Se entender´a por plano P a un conjunto cualquiera, donde sus elementos ser´an llamados
puntos. Adem´as, ser´an considerados algunos subconjuntos no vac´ıos de P, estos subconjuntos ser´an llamados l´ıneas y el conjunto no vac´ıo de todas las l´ıneas ser´a denotado por
L. Una l´ınea no necesariamente es recta.
Existir´an relaciones definidas que vincular´an a los t´erminos indefinidos (plano, punto y
l´ınea) entre s´ı. As´ı, definiremos Incidencia y Paralelismo. Un punto P es incidente a una
l´ınea l, que es lo mismo que la l´ınea l incide en P, cuando ocurre que P es un elemento de
l (P ∈ l). Dos l´ıneas son paralelas cuando no poseen un punto com´un.
Ser´a llamado modelo geom´etrico a la estructura que atribuye un significado a los t´erminos
indefinidos. O sea, entender un modelo geom´etrico equivale a otorgar una interpretaci´on a
los puntos, l´ıneas y al plano.

Cronos, el Dios del tiempo, se divert´ıa imaginando como modelo geom´etrico el trazado del Metro
de Santiago del a˜no 2011. Contaba a sus contertulios que cada estaci´on representa un punto, cada
l´ınea del Metro es una l´ınea en el modelo geom´etrico y por ende el plano es el conjunto de todas las
estaciones. Les dec´ıa que las nociones de punto, l´ınea y plano en este modelo geom´etrico no coincidir´an
con las concepciones a las que los habitantes de la ´epoca estar´an habituados. Los mismos contertulios
se percataban de que esto no era un impedimento para trabajar en este modelo geom´etrico.

Cronos comentaba que las l´ıneas 4A y 5 son paralelas en el modelo pues no tienen estaci´on com´un,
a pesar que el mapa del Metro de Santiago muestra que estas l´ıneas se cruzan.
Adem´as, los Dioses del Olimpo crearon un conjunto de propiedades. Sin embargo, nunca fue impuesto que un modelo geom´etrico satisficiera todas ellas simultaneamente, es decir, en cada modelo
geom´etrico son satisfechas algunas propiedades y otras no. Algunas de las propiedades impuestas por
los Dioses son:
(P1) Dados dos puntos distintos existe una ´unica l´ınea que incide a los dos puntos.
(P2) Para cada l´ınea existen al menos dos puntos distintos incidentes a ella.
(P3) Existen por lo menos tres puntos no incidentes a una misma l´ınea.
(P4) Dados una l´ınea y un punto no incidente a ella, existe una ´unica l´ınea incidente en el
punto dado y paralela a la l´ınea dada.
(P5) Para cada dos l´ıneas distintas, existe al menos un punto incidente en ambas.

PREGUNTA:
Ejercicio 2. Sea n ≥ 2 un n´umero entero. Consideren el siguiente modelo geom´etrico: Sea P =
{P1, P2, . . . , Pn} un plano con n puntos; una l´ınea es un subconjunto de P con exactamente 2 puntos.
Para cada una de las propiedades (P1), (P2), . . . , (P5), determinen todos los valores de n para los
cuales estas propiedades son v´alidas (observe que el modelo geom´etrico obtenido depende del valor
de n).

muchas gracias