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  • Este debate tiene 3 respuestas, 1 mensaje y ha sido actualizado por última vez el hace 2 meses por Alba Muñoz.
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  • #51249 Responder
    Zako
    Invitado

    $\left. \begin{array}{rcl} x+yz & = & 2016 \\ xy+z & = & 2015 \end{array} \right\}$

    Necesito ayuda para resolver este sistema si x e y son enteros, sin dibujar las ecuaciones. Gracias

    #51487 Responder
    Manuel Amorós
    Invitado

    Restando la 2ª menos la 1ª obtienes:
    (x-z)+y(z-x)=1
    (z-x)(y-1)=1
    El número 1 solo puede descomponerse como producto de dos enteros de dos formas: 1×1 o bien (-1)x(-1)
    En el primer caso deducimos que y-1=1; y=2; sustituyendo en el sistema:
    x+2z=2016
    2x+z=2015
    Los valores de x, z son fraccionarios, y no son por tanto solución válida
    Para el segundo caso, deducimos que y-1=-1; y=0; sustituyendo obtenemos x=2016 z=2015 Esta parece la única solución válida.

    #51611 Responder
    Alba Muñoz
    Invitado

    Al restar la primera ecuación menos la segunda, resulta:
    (x + yz) – (xy + z) = 2016 – 2015
    ⇒ (x – xy) + (yz – z) = 1
    ⇒ x(1 – y) + z(y – 1) = 1
    ⇒ x(1 – y) – z(1 – y) = 1

    Elaboramos la siguiente tabla de soluciones:
    VALOR DE y VALOR DE x VALOR DE z
    2 ………. x ∈ Z ……… Z = X + 1
    3 ………..X ∈ z ……… Z = (2X + 1)/2
    4 ………..X ∈ z ……… Z = (3X + 1)/3
    5 ………..X ∈ z ……….Z = (4X + 1)/4
    .
    .
    .
    N ……….. X ∈ z ……… Z = [(N – 1)X + 1]/ (N – 1), N ≠ 1.

    Solución: Si x, y ∈ Z, y ≠ 1, entonces Z = [(y – 1)X + 1]/ (y – 1)

    #51634 Responder
    Alba Muñoz
    Invitado

    CORRECCIÓN:
    Si x, y ∈ Z, y ≠ 1, entonces z = [(y – 1)x + 1]/ (y – 1)

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