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$\left. \begin{array}{rcl} x+yz & = & 2016 \\ xy+z & = & 2015 \end{array} \right\}$
Necesito ayuda para resolver este sistema si x e y son enteros, sin dibujar las ecuaciones. Gracias
Restando la 2ª menos la 1ª obtienes:
(x-z)+y(z-x)=1
(z-x)(y-1)=1
El número 1 solo puede descomponerse como producto de dos enteros de dos formas: 1×1 o bien (-1)x(-1)
En el primer caso deducimos que y-1=1; y=2; sustituyendo en el sistema:
x+2z=2016
2x+z=2015
Los valores de x, z son fraccionarios, y no son por tanto solución válida
Para el segundo caso, deducimos que y-1=-1; y=0; sustituyendo obtenemos x=2016 z=2015 Esta parece la única solución válida.Al restar la primera ecuación menos la segunda, resulta:
(x + yz) – (xy + z) = 2016 – 2015
⇒ (x – xy) + (yz – z) = 1
⇒ x(1 – y) + z(y – 1) = 1
⇒ x(1 – y) – z(1 – y) = 1Elaboramos la siguiente tabla de soluciones:
VALOR DE y VALOR DE x VALOR DE z
2 ………. x ∈ Z ……… Z = X + 1
3 ………..X ∈ z ……… Z = (2X + 1)/2
4 ………..X ∈ z ……… Z = (3X + 1)/3
5 ………..X ∈ z ……….Z = (4X + 1)/4
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N ……….. X ∈ z ……… Z = [(N – 1)X + 1]/ (N – 1), N ≠ 1.Solución: Si x, y ∈ Z, y ≠ 1, entonces Z = [(y – 1)X + 1]/ (y – 1)
CORRECCIÓN:
Si x, y ∈ Z, y ≠ 1, entonces z = [(y – 1)x + 1]/ (y – 1)
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