Es claramente una figura de revolución, pues la función que define la superficie solo depende de la distancia de (x,y) al origen sobre el plano XY. Entonces podemos considerar la curva en el plano xz z=ln(x^2+2) porque en ese plano y=0. Hacemos girar la parte de esa curva que va de x=0 a x=1 (que es la parte que queda dentro del cilindro centrado en el origen de radio 1 perpendicular al plano XY que propones como recinto) alrededor del eje z.
Esa superficie es 2*%pi*integral(x*raiz_cuadrada(1+(z’)^2),x,0,1) donde z’= 4*x^2/(x^2-2)^2. Lo puedes ver en cualquier texto que trate de estas cosas.
Solucionar esa integral a mano tiene tela, pero el resultado es 4.5613765907
La expresión analítica de la solución de la integral la puedes ver si vas a maxima.cesga.es e introduces 2*%pi*integrate(x*sqrt(1+4*x^2/(x^2+2.0)^2),x,0,1); y luego pulsas el botón que pone clic.
Un saludo.