Buenas tardes. Tengo una duda sobre la estructura del conjunto D=a+b\sqrt{2} cuando, a,b son enteros y cuando a,b son racionales. En el primer caso D es un dominio entero y en el segundo es un cuerpo ya que el inverso de todos sus elementos pertenece a D. Se demuestra fácilmente viendo que se cumplen las propiedades correspondientes al ser D\subset R y ser la operaciones suma y producto internas en D en cualquiera de los dos casos.

Otra forma de aproximarse al problema es mediante los conjuntos cocientes.

Vi una solución para el segundo caso, interpretando D como el conjunto cociente entre el anillo Q[X] y el ideal (x^2-2) y como aquél tiene estructura de anillo, y éste es un ideal maximal, el conjunto cociente de ambos tiene estructura de cuerpo.

No entiendo por qué el primer caso no se puede interpretar como el cociente entre el anillo Z[X] y el mismo ideal (x^2-2). Para que la estructura del cociente fuese un dominio entero, el ideal (x^2-2) debería ser primo pero no maximal y es aquí donde me pierdo.

¿Por qué este ideal es primo en Z[x] y maximal en Q[X]? ¿Está mal todo el razonamiento?

Muchas gracias.