Inicio ForoGauss Matemáticas Dudas/Consultas ¿Conjetura?

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  • #24304 Responder
    Jorge L
    Invitado

    Creo haber descubierto una conjetura, aunque desconozco si es conocida. La publico aqui por si alguien la conoce o le suena. Está relacionada con las sumas de potencias del mismo exponente. Veamos qué ocurre con la suma 3^7+19^7=2*11*281*144593. Si nos fijamos en los factores primos, todos excepto los factores 2 y 11 son congruentes con la unidad módulo el exponente. Es decir (281-1)/7=40 y (144593-1)/7=20656. ¿Curioso, verdad? También hay que observar que los factores 2 y 11 son precisamente los que surgen de sumar los dos números sin su exponente es decir, 2*11=3+19. Esto parece cumplirse en todas las sumas de potencias. Un ejemplo claro de ello es el exponente 5. Si se debe cumplir lo anterior, entonces todos los factores primos de la suma (x^5+y^5)/(x+y) deben acabar en 1, pues la única posibilidad para que sean divisibles entre 5 al restarles la unidad es que acaben en 1 o 6, pero si acaban en 6 no serán primos. Veamos que esto parece ocurrir siempre:
    (5^5+27^5)/(5+27)=241*1861
    (11^5+29^5)/(11+29)=5*41*2521
    (44^5+101^5)/(44+101)=5*151*97511
    Otro ejemplo con exponente distinto de 5 es:
    (7^19+29^19)/(7+29)=340481773613*497926901721659
    Y resulta que para los dos factores primos se cumple también lo anterior:
    (340481773613-1)/19=17920093348 y (497926901721659-1)/19=26206679037982
    Entonces, podemos conjeturar que:
    “Sea p un factor primo de la suma (x^n+y^n)/(x+y), entonces p=1 (mod n)”

    #24444 Responder
    Julian
    Invitado

    Que hay de (2^2 + 3^2)/(2+3) = 13/5, supongo que la conjetura se refiere a cuando (x^n+y^n)/(x+y) es entero

    #24445 Responder
    jorge l
    Invitado

    Por supuesto Julian, gracias por informar del error. El exponente n debe ser impar para que la expresión sea entera.

    #32085 Responder
    Alberto
    Invitado

    (1+4^5)/(1+4)=1025/5=205=5*41
    Quizás se pueda cambiar la conjetura a que los divisores primos de
    (a^n+b^n)/(a+b) sean n o sean t*n+1

    #37655 Responder
    Julio Romeo
    Invitado

    Jorge muy interesante lo tuyo. Yo sólo diría que el enunciado debería ser algo más o menos así:
    Si $latex p$ es un factor primo de la descomposición de $latex (x^n+y^n)/(x+y)$ siendo $latex n = 2k+1; k>0$ entonces $latex p-1=nq$ con $latex q>0$
    Porque en realidad eso es lo que afirmas en los ejemplos, no que la suma únicamente.

    También me llama la atención que sólo es entero para $latex n$ impar.

    #37656 Responder
    Julio Romeo
    Invitado

    Jorge muy interesante lo tuyo. Yo sólo diría que el enunciado debería ser algo más o menos así:
    Si \( p \) es un factor primo de la descomposición de \( (x^n+y^n)/(x+y) \) siendo \( n = 2k+1; k>0 \) entonces \( p-1=nq \) con \( q>0 \)
    Porque en realidad eso es lo que afirmas en los ejemplos, no que la suma únicamente.

    También me llama la atención que sólo es entero para \( n \) impar.

    #44700 Responder
    Rodolfo M.
    Invitado

    Jorge L.:
    Lo que dices NO es una conjetura.
    Si la suma de los numeros considerados NO es multiplo de «n», entonces es verdad lo que dices, todos los divisores primos del 2do. factor son de la forma p=2nk+1.
    Sin embargo si la suma es multiplo de «n», entonces los divisores primos del 2do. factor son tambien como dices, pero tambien es multiplo de «n»; ejms:
    1) 33^5+38^5=(33+38).(61x151x181)=(71).(61x151x181)
    Todos los divisores primos del 2do. factor son de forma señalada, es decir (p=2nk+1)
    2) 33^5+37^5=(33+37).(5x61x5081)=(70).(5x61x5081)=(2x5x7).(5x61x5081)
    Ocurre lo mismo con los factores primos del 2do. factor pero ademas es multiplo de «n» (n=5). El 1er. factor tambien es multiplo de «n».
    Todo lo que dije, tambien es valido para una diferencia de enesimas potencias.
    Saludos, Rodolfo

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Respuesta a: ¿Conjetura?
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