Inicio ForoGauss Matemáticas Propuestas para Gaussianos Curiosa propiedad de los periodos en los decimales periódicos.

  • Este debate tiene 2 respuestas, 1 mensaje y ha sido actualizado por última vez el hace 5 años, 7 meses por Daniel Cao Labora.
Viendo 3 publicaciones - del 1 al 3 (de un total de 3)
  • Autor
    Mensajes
  • #14885 Responder
    Jose Maria
    Invitado

    He demostrado que dada una fracción irreducible p/q (p y q son primos entre sí), que produce un decimal periódico, si en el denominador no está el factor primo 3, para cualquier otra combinación de números p y q, el periodo es SIEMPRE divisible entre 9.

    No he visto esto en ningún sitio.

    Podéis decirme si os parece interesante?

    #14963 Responder
    Daniel Cao
    Invitado

    Es interesante ciertamente. Yo nunca me había percatado. La demostración no me parece muy complicada después de pensarla un ratín, pero la mía viene siendo algo tipo:

    p/q = z + r/q (de modo que r es un natural entre 0 y q-1). Para estudiar la parte decimal basta con estudiar r/q.

    r/q = 0.c1c2c3…ckc1c2… (cada ci es un dígito del período).

    Por otra parte 10^k*(r/q)=c1c2…ck’c1c2…ckc1c2c3… (donde la ‘ es el cambio de parte entera a decimal). Ahora restando:

    (r/q)(-1+10^k)=c1c2…ck o equivalentemente r*(-1+10^k)=c1c2…ck*q y ahora como el miembro de la izquierda es claramente divisible entre 9 (por su segundo factor) y usando que q no es divisible entre 9 (por hipótesis) resulta que c1c2…ck es divisible entre 9.

    Como ya dije antes me ha parecido muy interesante, aunque supongo que será conocido ya por bastante gente (aún así no era mi caso, así que muchas gracias por compartirlo).

    #14966 Responder
    Daniel Cao Labora
    Invitado

    Una pequeña enmienda nada más. Cuando dije «ahora como el miembro de la izquierda es claramente divisible entre 9 (por su segundo factor) y usando que q no es divisible entre 9 (por hipótesis) resulta que c1c2…ck es divisible entre 9.» debí haber puesto «usando que q no es divisible entre 3» porque puse 9 y evidentemente es un error (pues la hipótesis era con 3) y además es falso si se argumenta con 9.

Viendo 3 publicaciones - del 1 al 3 (de un total de 3)
Respuesta a: Curiosa propiedad de los periodos en los decimales periódicos.
Tu información: