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He demostrado que dada una fracción irreducible p/q (p y q son primos entre sí), que produce un decimal periódico, si en el denominador no está el factor primo 3, para cualquier otra combinación de números p y q, el periodo es SIEMPRE divisible entre 9.
No he visto esto en ningún sitio.
Podéis decirme si os parece interesante?
Es interesante ciertamente. Yo nunca me había percatado. La demostración no me parece muy complicada después de pensarla un ratín, pero la mía viene siendo algo tipo:
p/q = z + r/q (de modo que r es un natural entre 0 y q-1). Para estudiar la parte decimal basta con estudiar r/q.
r/q = 0.c1c2c3…ckc1c2… (cada ci es un dígito del período).
Por otra parte 10^k*(r/q)=c1c2…ck’c1c2…ckc1c2c3… (donde la ‘ es el cambio de parte entera a decimal). Ahora restando:
(r/q)(-1+10^k)=c1c2…ck o equivalentemente r*(-1+10^k)=c1c2…ck*q y ahora como el miembro de la izquierda es claramente divisible entre 9 (por su segundo factor) y usando que q no es divisible entre 9 (por hipótesis) resulta que c1c2…ck es divisible entre 9.
Como ya dije antes me ha parecido muy interesante, aunque supongo que será conocido ya por bastante gente (aún así no era mi caso, así que muchas gracias por compartirlo).
Una pequeña enmienda nada más. Cuando dije «ahora como el miembro de la izquierda es claramente divisible entre 9 (por su segundo factor) y usando que q no es divisible entre 9 (por hipótesis) resulta que c1c2…ck es divisible entre 9.» debí haber puesto «usando que q no es divisible entre 3» porque puse 9 y evidentemente es un error (pues la hipótesis era con 3) y además es falso si se argumenta con 9.
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