Sea el conjunto:
\begin{equation*}
K=\{n\in\mathbb{N}:(\exists a_{1},a_{2},\ldots,a_{n+1}\in\mathbb{N})(a_{1}\lt a_{2}\lt\ldots\lt a_{n+1}\land a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+\ldots+a_{n}^{n}=a_{n+1}^{n})\}
\end{equation*}
Entonces K es infinito. Por ejemplo:
\begin{align*}
3^{2}+4^{2}=5^{2}\\
3^{3}+4^{3}+5^{3}=6^{3}
\end{align*}
Si es cierta, significa que en los naturales existiría una sucesión de las llamadas «potencias perfectas» que son los:
\begin{equation*}
a_{n+1}^{n}
\end{equation*}
Si n pertenece a K y m es un número entero mayor que n, entonces no existen números enteros positivos:
\begin{equation*}
a_{1},a_{2},\ldots,a_{n+1} (distintos)
\end{equation*}
que cumplan la igualdad:
\begin{equation*}
a_{1}^{m}+a_{2}^{m}+\ldots+a_{n}^{m}=a_{n+1}^{m}
\end{equation*}