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Puedo equivocarme pero corríganme si me equivoco.
a, b y c son números naturales. Mcd(a,b)=1
a^3 + b^3 = c^3. Está claro que c>a y c>b.
Entonces escribo: a^3 + b^3 = (b + a1)^3. a = a1 + x.
Si a1 divide a x, entonces: a = a1*y con lo cual a1^3*y^3 + b^3 = b^3+3b^2a1+3ba1^2+a1^3 y a1^3*y^3 = 3b^2a1+3ba1^2+a1^3 lo que no puede ser porque mcd(a,b)=1.
Si a1 nó divide a x entonces: a=a1+x y queda (a1+x)^3+b^3=(b+a1)^3,
a1^3+3a1^2x+3a1x^2+x^3+b^3=b^3+3b^2a1+3ba1^2+a1^3,
3a1^2x+3a1x^2+x^3=3b^2a1+3ba1^2 y no puede ser porque a1 nó divide a x.
Solo cabe la posibilidad de que a1=1.
Pero la diferencia de dos potencias sucesivas de grado mayor que dos nunca es potencia entera del mismo grado.
Se puede ver que si a=2 tampoco puede ser.En vista de que no tengo respuesta, aunque sea para decir que me equivoco, voy a repetirlo de un modo más claro.
Soy un mero aficionado y supongo que habré cometido algún error. Pero no se donde.
A ver: el famoso teorema de FERMAT para n=3.
Tenemos trés números naturales ( a, b y c )
tales que la suma de los cubos de a y b es igual al cubo de c
a^3 + b^3 = c^3 Está claro que c>a y c>b y puedo suponer que mcd(a,b)=1
Como c>a y c>b descompongo c como suma de b y otro número natural ( a1 )
y escribo a^3 + b^3 = (b + a1)^3 con lo que a = a1 + x (x es número natural)
Si a1 divide a x entonces a = a1*y (donde y es otro número natural)
en este caso puedo expresar la primera ecuación que he escrito como
a1^3*y^3 + b^3 = (b+a1)^3 desarrollando y cancelando b^3 queda
a1^3*y^3 = 3b^2a1 + 3ba1^2 + a1^3
pero si mcd(a,b)=1 a1 no divide a la derecha tantas veces como a la izquierda
aun siendo a1 múltiplo de trés.
En caso de que a1 no divida a x, la primera ecuación tomará la forma:
(a1+x)^3 + b^3 = (b+a1)^3 . Desarrollando los binomios y cancelando a1^3 y b^3
quedará: 3a1^2*x + 3a1x^2 + x^3 = 3b^2*a1 + 3b*a1^2
pero no puede ser si a1 no divide a x.Solo cabe la posibilidad de que a1=1.
a^3 + b^3 = (b + 1)^3 ,y , a^3 = (b + 1)^3 – b^3.
Pero la diferencia de dos potencias sucesivas de grado mayor que dos nunca es potencia entera del mismo grado.
Se puede ver que si a=2 tampoco puede ser.Parece que se trata de eso precisamente. De demostrar que la diferencia de dos potencias consecutivas de grado mayor que dos no puede ser otra potencia entera del mismo grado.
He estado pensando sobre ello.
Consideremos la diferencia de dos terceras potencias, b(entero) y b+1.
(b+1)^3-b^3= 3b^2+ 3b +1.
Ahora tomamos 3(b+1)^2 =3b^2 +6b +3, (por un lado), (y por otro) 3b^2.
Se puede ver que: 3b^2<[(b+1)^3 -b^3]< 3(b+1)^2 (si (b+1)^3-b^3=a^3 ).
Queda: 3b^2< a^3< 3(b+1)^2, y a tiene que ser menor que b.
Entonces a no puede ser entero (considérense los casos b=3, b<3 y b>3).
Y yo diría que se puede extender a cualquier exponente primo mayor que dos.
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