A ver si no la lío, que de esto hace ya tiempo que lo dejé atrás…

Un espacio vectorial es, en esencia, un conjunto (no vacío) que cumple una serie de propiedades. Básicamente, y perdónenme los puristas, un conjunto es espacio vectorial si la combinación lineal de cualquier par de elementos pertenece al conjunto. Es decir, si x e y son elementos del conjunto, (Ax+By) también pertenece al conjunto, para todo A y B reales.

Por el contrario, un campo vectorial es una aplicación de R^n en R^m en general, que a cada punto del espacio le asigna un «vector». Yo me lo imagino como si a cada punto del espacio le asignamos la velocidad del aire en ese punto: un montón de «flechas», una en cada punto, eso es un campo vectorial.