Buenas tardes.

El cuatrimestre pasado, tuvimos en la universidad un curso de Probabilidad. Cuando llegamos al tema de la esperanza condicionada, me percaté de algo que me pareció bastante curioso respecto al espacio de variables aleatorias.

Nunca he usado este foro y no sé cómo funcionan los comandos, pero pondré en un quote cómo obtener un espacio de Hilbert utilizando el espacio de variables aleatorias; mi idea es que quede resaltado dónde acaba la explicación para ahorrarle la explicación a quienes no la necesiten.

Sea $\Omega$ un espacio de probabilidad y $X,Y: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ dos variables aleatorias cualesquiera. El espacio de todas las variables aleatorias tiene estructura vectorial ($\lambda X + \mu Y$ es aleatorio para cualquier par de escalares $\lambda$ y $\mu$) y, si se denota como $\mu(X)$ la esperanza de la variable $X$, se puede definir un operador covarianza

$$\sigma(X,Y):=\mu{[X-\mu(X)][Y-\mu(Y)]},$$

bilineal, simétrica y definida positiva:

$$\sigma(X,X)=\mu[X-\mu(X)]=\sigma^2(X),$$

Además, si identificamos todas las variables aleatorias constantes con la idénticamente 0, la varianza es no degenerada. Por tanto, el espacio cociente resultante es un espacio de Hilbert.

Intuitivamente, entiendo que la esperanza representa lo que llamaríamos «origen de coordenadas» en el espacio afín euclídeo, dado que centra a la variable aleatoria. Pero, dado que la covarianza establece un producto interno, me preguntaba si la esperanza como operador tendría algún significado en el sentido de los espacios de Hilbert.

Gracias y buenas tardes. -Hannah