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Representar la región limitada por las gráficas de las ecuaciones dadas,expresar su volumen como una integral triple
A)x+2y+3z=6,x=0,y=0,z=0
D)36x^2+9y^2+4z^2=36Hola como están disculpen me podrían ayudar con estas integrales? Me gustaría resolverlas por el método de cambio de variables ya que me es más sencillo entender,me ayudarían?se los agradeceré!!
¿Son dos problemas independientes o uno solo?
Suponiendo que se trata de cuestiones independientes:
A) x+2y+3z=6,x=0,y=0,z=0
Se trata del volumen situado en el primer octante bajo el plano x+2y+3z=6. La intersección de este plano con el plano Oxy es x+2y=6. Entonces, para calcular el volumen mediante integrales, podemos poner
∫(∫((6-x-2y)/3 dy, 0,(6-x)/2) dx, 0, 6) = ∫((x – 6)^2/12 dx, 0, 6) = 6
Pero no hacía falta usar integrales, ya que se trata de una pirámide que tiene de altura 2 y base un triángulo rectángulo de catetos 3 y 6, V = 1/3 (1/2 3·6)·2 = 6
D) Se trata de del volumen del elipsoide 36x^2+9y^2+4z^2=36. Se puede escribir como x^2 + y^2/4 + z^2/9 = 1, por lo que sus semiejes son 1, 2 y 3. La intersección con el plano Oxy es la elipse x^2 + y^2/4 = 1, por lo que el volumen, dada la simetría respecto de las tres variables, se puede calcular como 8 veces el comprendido en el primer octante:
V = 8∫(∫(3√(1 – x^2 – y^2/4) dy, 0, 2√(1 – x^2)) dx, 0, 1) = 12π ∫((x^2 – 1)/2 dx, 0, 1) = 8π
Para lo que nuevamente no necesitábamos integrales, ya que el volumen de un elipsoide de semiejes a, b y c es V = 4/3 π abc.
Aqui tienes una imagen tridimensional del tetraedro y el elipsoide: https://ggbm.at/DDZEwpuy
Si se trata de calcular un solo volumen limitado por todas las superficies dadas, la cuestión es algo más complicada, vuelve a preguntar.
Suponiendo que se trata de cuestiones independientes:
A) x+2y+3z=6,x=0,y=0,z=0
Se trata del volumen situado en el primer octante bajo el plano x+2y+3z=6. La intersección de este plano con el plano Oxy es x+2y=6. Entonces, para calcular el volumen mediante integrales, podemos poner
∫(∫((6-x-2y)/3 dy, 0,(6-x)/2) dx, 0, 6) = ∫((x – 6)^2/12 dx, 0, 6) = 6
Pero no hacía falta usar integrales, ya que se trata de una pirámide que tiene de altura 2 y base un triángulo rectángulo de catetos 3 y 6, V = 1/3 (1/2 3·6)·2 = 6
D) Se trata de del volumen del elipsoide 36x^2+9y^2+4z^2=36. Se puede escribir como x^2 + y^2/4 + z^2/9 = 1, por lo que sus semiejes son 1, 2 y 3. La intersección con el plano Oxy es la elipse x^2 + y^2/4 = 1, por lo que el volumen, dada la simetría respecto de las tres variables, se puede calcular como 8 veces el comprendido en el primer octante:
V = 8∫(∫(3√(1 – x^2 – y^2/4) dy, 0, 2√(1 – x^2)) dx, 0, 1) = 12π ∫((x^2 – 1)/2 dx, 0, 1) = 8π
Para lo que nuevamente no necesitábamos integrales, ya que el volumen de un elipsoide de semiejes a, b y c es V = 4/3 π abc.
Aqui tienes una imagen tridimensional del tetraedro y el elipsoide: Imagen
Si se trata de calcular un solo volumen limitado por todas las superficies dadas, la cuestión es algo más complicada, vuelve a preguntar.
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