Integral triple

Este debate contiene 3 respuestas, tiene 1 mensaje y lo actualizó  Ignacio Larrosa Cañestro hace 2 meses, 1 semana.

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  • #49503 Respuesta

    Dario

    Representar la región limitada por las gráficas de las ecuaciones dadas,expresar su volumen como una integral triple
    A)x+2y+3z=6,x=0,y=0,z=0
    D)36x^2+9y^2+4z^2=36

    Hola como están disculpen me podrían ayudar con estas integrales? Me gustaría resolverlas por el método de cambio de variables ya que me es más sencillo entender,me ayudarían?se los agradeceré!!

    #49508 Respuesta

    Ignacio Larrosa Cañestro

    ¿Son dos problemas independientes o uno solo?

    #49510 Respuesta

    Ignacio Larrosa Cañestro

    Suponiendo que se trata de cuestiones independientes:

    A) x+2y+3z=6,x=0,y=0,z=0

    Se trata del volumen situado en el primer octante bajo el plano x+2y+3z=6. La intersección de este plano con el plano Oxy es x+2y=6. Entonces, para calcular el volumen mediante integrales, podemos poner

    ∫(∫((6-x-2y)/3 dy, 0,(6-x)/2) dx, 0, 6) = ∫((x – 6)^2/12 dx, 0, 6) = 6

    Pero no hacía falta usar integrales, ya que se trata de una pirámide que tiene de altura 2 y base un triángulo rectángulo de catetos 3 y 6, V = 1/3 (1/2 3·6)·2 = 6

    D) Se trata de del volumen del elipsoide 36x^2+9y^2+4z^2=36. Se puede escribir como x^2 + y^2/4 + z^2/9 = 1, por lo que sus semiejes son 1, 2 y 3. La intersección con el plano Oxy es la elipse x^2 + y^2/4 = 1, por lo que el volumen, dada la simetría respecto de las tres variables, se puede calcular como 8 veces el comprendido en el primer octante:

    V = 8∫(∫(3√(1 – x^2 – y^2/4) dy, 0, 2√(1 – x^2)) dx, 0, 1) = 12π ∫((x^2 – 1)/2 dx, 0, 1) = 8π

    Para lo que nuevamente no necesitábamos integrales, ya que el volumen de un elipsoide de semiejes a, b y c es V = 4/3 π abc.

    Aqui tienes una imagen tridimensional del tetraedro y el elipsoide: https://ggbm.at/DDZEwpuy

    Si se trata de calcular un solo volumen limitado por todas las superficies dadas, la cuestión es algo más complicada, vuelve a preguntar.

    #49511 Respuesta

    Ignacio Larrosa Cañestro

    Suponiendo que se trata de cuestiones independientes:

    A) x+2y+3z=6,x=0,y=0,z=0

    Se trata del volumen situado en el primer octante bajo el plano x+2y+3z=6. La intersección de este plano con el plano Oxy es x+2y=6. Entonces, para calcular el volumen mediante integrales, podemos poner

    ∫(∫((6-x-2y)/3 dy, 0,(6-x)/2) dx, 0, 6) = ∫((x – 6)^2/12 dx, 0, 6) = 6

    Pero no hacía falta usar integrales, ya que se trata de una pirámide que tiene de altura 2 y base un triángulo rectángulo de catetos 3 y 6, V = 1/3 (1/2 3·6)·2 = 6

    D) Se trata de del volumen del elipsoide 36x^2+9y^2+4z^2=36. Se puede escribir como x^2 + y^2/4 + z^2/9 = 1, por lo que sus semiejes son 1, 2 y 3. La intersección con el plano Oxy es la elipse x^2 + y^2/4 = 1, por lo que el volumen, dada la simetría respecto de las tres variables, se puede calcular como 8 veces el comprendido en el primer octante:

    V = 8∫(∫(3√(1 – x^2 – y^2/4) dy, 0, 2√(1 – x^2)) dx, 0, 1) = 12π ∫((x^2 – 1)/2 dx, 0, 1) = 8π

    Para lo que nuevamente no necesitábamos integrales, ya que el volumen de un elipsoide de semiejes a, b y c es V = 4/3 π abc.

    Aqui tienes una imagen tridimensional del tetraedro y el elipsoide: Imagen

    Si se trata de calcular un solo volumen limitado por todas las superficies dadas, la cuestión es algo más complicada, vuelve a preguntar.

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