Inicio ForoGauss Matemáticas Dudas/Consultas Limite de una sucesión

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  • #51289 Responder
    Lautaro
    Invitado

    Hola, chicos. Es la primera vez que escribo en foro así que no tengo idea si estoy haciendo bien esto. Tengo una traba bastante grande en análisis y estoy buscando ayuda…

    Un ejericio me pide que halle el límite (si lo hay) de la sucesión a(n) = a la raiz cuadrada de (n^2 +n -2) -n

    Según la profesora esto da un límite de 1/2…. yo lo hago y me da cero (0).

    Dejo mi correo: co.lautaro@gmail.com

    #51295 Responder
    gaussianos
    Superadministrador

    Buenas Lautaro,

    Entiendo que el ejercicio consiste en calcular el límite siguiente:

    \( \displaystyle{\lim_{n \to \infty} ( \sqrt{n^2+n-2}-n )} \)

    Bien. La idea inicial creo que está clara: multiplicar y dividir por el conjugado de esa expresión. ¿Lo has hecho? ¿Qué te sale? Puedes escribirlo en \( \LaTeX \) (en este enlace te explico cómo introducir código \( \LaTeX \) en este foro).

    #51439 Responder
    Lautaro
    Invitado

    Hola! Antes que nada muchas gracias por responder! Ya que he buscado información en varios libros, pdf, videos… y todavía persisten mis dudas. Ya pude resolver el inconveniente; y sí, había multiplicado y dividido por el conjugado de la expresión, pero estaba factorizando mal.

    Me cuesta identificar expresiones del tipo «infinito menos infinito». Por ejemplo, si yo tengo esta sucesión:

    \(b_n= \frac{n^2-5n+7}{n+3}-\frac{n^2+5}{n+1}\)

    Instantáneamente se me vienen a la mente estas preguntas:

    ¿Es una sucesión o son dos sucesiones que se están restando? (Particularmente pienso que es UNA expresión genérica de una sucesión b sub n).
    ¿Es una indeterminación del tipo «infinito menos infinito» o del tipo «infinito sobre infinito»? [Mi razón me dice que esto queda de la forma (inifito/infinito)-(infinito/infinito)]
    ¿Aplico límite de la primera expresión y el límite de la segunda y luego resto ambos límites?
    ¿O me conviene aplicar factor común para juntar las fracciones?
    ¿O cualquiera de las dos formas es válida?

    Lamento si al momento de enviar el comentario no sale la expresión como esperaba. No estoy seguro de estar usando correctamente el código LATEX.

    Por las dudas lo escribo acá abajo de la mejor forma que pueda…

    b sub n = (n^2-5n+7)/(n+3) – (n^2+5)/(n+1)

    Gracias por tu tiempo.

    #51440 Responder
    gaussianos
    Superadministrador

    Buenas de nuevo Lautaro,

    Entiendo tus dudas respecto a expresiones tipo la que me comentas. Esa sucesión puede interpretarse como una sola ó como dos restadas. Si aplicas límite te quedaría

    $$\cfrac{\infty}{\infty}-\cfrac{\infty}{\infty}$$

    Si calculas el límite de cada fracción por separado, te quedaría \( \infty – \infty \), con lo que en realidad no sales del problema.

    En cálculo de límites, te recomiendo que sigas esta regla:

    «Antes de aplicar límite, opera y simplifica todo lo posible.»

    Si te preocupas antes por simplificar la expresión todo lo que puedas, eliminarás esos problemas que tienes. Por ejemplo, en el caso que comentas quedaría lo siguiente:

    $$b_n=\cfrac{-7n^2-3n-8}{n^2+4n+3}$$

    y el límite se ha simplificado enormemente.

    Espero haberte ayudado. Un saludo.

    #51442 Responder
    Lautaro
    Invitado

    Justo te estaba escribiendo lo mismo que me estás explicando. Al simplificar me quedó justo así. Ya pude resolverlo. Pero entonces, una sucesión del tipo:

    \(b_n=\frac{n^2-5n+7}{n+3}-\frac{n^2+5}{n+1}=\)

    que si aplico límite queda:

    \(\frac{∞}{∞}-\frac{∞}{∞}\) …

    ¿Qué tipo de indeterminación es?¿»infinito sobre infinito» o «infinito menos infinito»?

    Por supuesto que me has sacado de dudas. Muchas gracias y ojalá pueda hacer lo mismo por alguien.

    #51443 Responder
    gaussianos
    Superadministrador

    Esa \( b_n \) da dos \( \frac{\infty}{\infty} \) restados que al resolverlos dan un \( \infty – \infty \) que necesita que operes y simplifiques para obtener un \( \frac{\infty}{\infty} \)…que acaba dando \( -7 \).

    No te compliques la vida, opera y simplifica todo lo posible y después aplica límite. La indeterminación que te encuentres en ese momento (si es que te encuentras alguna) junto con la expresión que te haya quedado será la que más información te dé en lo relativo a su resolución.

    Un saludo :).

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Respuesta a: Limite de una sucesión
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