Buenas tardes,

hoy me he encontrado con una sucesion de raices de 2, que converge a PI, y tenia curiosidad por saber si se conocia, puesto que parece que converge rapido.

En concreto es

π = √(2-√(√(√(…√(√(√(√(√(2)+2)+2)+2)+2)…+2)+2)+2))*2^(N+1)

y estos son los resultados que he obtenido para 13 pasos:

PASO (√(2)+2…) √(2- √(…√(2)+2)) √(2- √(…√(2)+2))*2^(N+1)
1 1,41421356237310 0,765366864730179000 3,061467459
2 1,84775906502257 0,390180644032257000 3,121445152
3 1,96157056080646 0,196034280659121000 3,136548491
4 1,99036945334439 0,098135348654835600 3,140331157
5 1,99759091241034 0,049082457045824300 3,141277251
6 1,99939763739241 0,024543076571438600 3,141513801
7 1,99984940367829 0,012271769298312000 3,14157294
8 1,99996235056520 0,006135913525937420 3,141587725
9 1,99999058761915 0,003067960372563120 3,141591422
10 1,99999764690340 0,001533980637505410 3,141592346
11 1,99999941172576 0,000766990375133058 3,141592577
12 1,99999985293144 0,000383495194514557 3,141592633
13 1,99999996323286 0,000191747598560034 3,141592655

Estaba curioseando, a raiz de que hace tiempo, estuve viendo como se saca que sin(18) = (-1 +√5)/4, si existian mas senos y cosenos exactos, para angulos menores de 45 grados. De hecho, solo conocia los casos de 30 y 45, y no sabia que el de 18 grados y el de 36, se podian sacar de una relacion aurea.

En concreto, en esta pagina, el autor detalla las razones trigonometricas para angulos de 3 en 3 grados:

https://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_constants_expressed_in_real_radicals

Sobre el final de la pagina, el autor determina el valor (en radianes) de los senos y cosenos de π/2^n,

en concreto

sen(π/2) = 0/2
sen(π/2^2) = √(2-0)/2
sen(π/2^3) = √(2-√2)/2
sen(π/2^4) = √(2-√(√(2)+2)/2
sen(π/2^5) = √(2-√(√(√(2)+2)+2)/2
sen(π/2^6) = √(2-√(√(√(√(2)+2)+2)+2)/2
…

Luego teniendo en cuenta que lim x=>0 (sen(x))/x = 1, conforme va aumentando 2^N, el resultado va tendiendo al limite.

En principio, para computar el numero π, esta sucesion vendria de perlas para cualquier equipo informatico, ya que como solo se usa el 2, y converge aparentemente rapido, se puede hacer en base binaria mas facil.

¿Se conocia antes esta sucesión?

Un saludo