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  • #14180 Responder
    Juan C
    Invitado

    Típico problema de máximos y mínimos en Geometría. ¿Alguien se atreve a resolverlo?

    En un trapecio se dan la magnitud y posición de una de sus bases AB y de una de sus diagonales AC. Calcular el valor que ha de tener la otra base para que la suma de las áreas de los triángulos que forman las bases con las diagonales sea mínima.

    #53861 Responder
    Eduardo
    Invitado

    El problema es sencillo si consideramos el trapecio de bases A y B, y diagonales C y D. Supongamos que su base mayor es A y consideremos el trapecio apoyado sobre esta (de igual manera podría suponerse que B fuera la mayor, y la demostración sería homóloga, lo mismo ocurre con la orientación). Es fácil darse cuenta que:

    0 < C < A, por lo que podemos escribir A – C > 0, y de este modo, comprobamos que la diferencia entre las bases, que es la suma de las bases de los triángulos, es positiva, parece algo evidente, pero tomará más importancia.

    Llamemos h a la altura del trapecio apoyado sobre A y d = A – C. Es claro que la suma de las áreas de los triángulos es igual a h * d, por lo que nuestra función a optimizar será:

    f(d) = h * d, que sabemos que es positiva y creciente.

    Si derivamos respecto de d, queda: f`(d) = h, que no puede ser cero. Por fuerza alcanza su mínimo en d = 0. Esto es, cuando C = A. Otra forma alternativa de entenderlo es viendo que f es lineal, pasa por (0,0) y es monótona creciente.

    En efecto, tiene sentido, la segunda base minimiza la suma de las áreas de los triángulos convirtiendo el trapecio en un rectángulo, cuando uno de los catetos de ambos triángulos triángulos es 0.

    Espero te sirva de ayuda.

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