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  • Este debate tiene 3 respuestas, 1 mensaje y ha sido actualizado por última vez el hace 8 años, 4 meses por Antonio González.
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  • #14306 Responder
    danny10orama
    Invitado

    Me ha surgido una duda con respecto a las probabilidades en variables continuas, y espero que me podáis ayudar a entenderlo.
    Por ejemplo, si pidieran escoger aleatoriamente un número real entre 1 y 4, intuitivamente puedo notar que hay más posibilidades de que el número sea entre 2 y 4 a que sea entre 1 y 2 (podría afirmar con cierta seguridad que específicamente es dos veces más probable). Sin embargo, no sé cómo formalizar esta conclusión, puesto que reconozco que no sé mucho del tema, y solo llego a que el intervalo [1,2] «tiene tantos elementos» como el intervalo [2,4] y la Regla de Laplace no me ayuda en estos casos. ¿Cómo puedo demostrar que efectivamente el intervalo [2,4] es más probable que el otro?
    ¿Qué conocimientos previos necesito saber para entender esta clase de problemas? si pudiéseis recomendarme alguna bibliografía o enlace para introducirme en esta materia os lo agradecería 🙂
    Por cierto, llegué a esta duda intentando resolver un problema que se me ocurrió, ojalá podáis echarme una mano también con ello: se escogen 10 números reales al azar del intervalo [1,7], ¿cuál es la probabilidad que, de acuerdo a cómo fueron escogidos, estos números presenten un orden decreciente?, o sea, que el segundo número elegido sea menor al primero, que el tercero sea menor al segundo y así.
    De antemano, muchas gracias y enhorabuena por el blog y este foro de consultas.

    #14308 Responder
    TheAbConstant
    Invitado

    En cuanto a qué es más probable ten en cuenta que elegir un punto cualquiera en el intervalo sigue una distribución uniforme continua.

    Por tanto la probabilidad es el área bajo la curva (en este caso la función constante) así que para demostrarlo simplemente hay que ver que la integral definida en ambos intervalos y ya está.

    De enlaces y bibliografía ando escaso pero la misma wikipedia puede ser un punto de comienzo (tiene referencias al final de los artículos)

    Si te interesa el tema empieza aprendiendo probabilidad discreta: métodos de conteo, distribuciones, teorema de Bayes etc y luego pasa a la continua, a tu ritmo y sin prisas, hay problemas muy interesantes en este campo, o al menos a mí me encantan.

    A la última parte no sé como responder porque en variable continua la probabilidad de elegir un número finito de puntos es cero por lo mismo de lo de la integral antes.

    Un saludo y suerte

    #14309 Responder
    Lumarpin
    Invitado

    Sobre el problema de los 10 números escogidos al azar en el intervalo [1,7] ofrezco una solución:

    Suponemos que todos los números escogidos son distintos, porque al ser números reales la probabilidad de escoger el mismo 2 veces tiende a 0.

    Tenemos que al ser 10 números hay 10!=3628800 combinaciones posibles, así que la probabilidad de que hayan salido justamente en orden decreciente es de 1/3628800.

    #14310 Responder
    Antonio González
    Invitado

    Otra forma de ver lo de los 10 números es considerar que el último número x10 puede tomar cualquier valor en el intervalo. x9 debe ir desde 0 a x10. x8 desde 0 a x9 y así. Resulta una secuencia de integrales anidadas cuyo valor equivale al volumen de un hipertetraedro:

    $$P = \frac{1}{7^{10}} \int_0^7 \left ( \int_{0}^{x_1} \ldots \left (\int_{0}^{x_2} dx_{1} \right ) \ldots dx_9 \right ) dx_{10}$$

    Las sucesivas integrales dan x, x^2/2, x^3/6,… y finalmente

    $$P = \frac{1}{7^{10}} \,\frac{7^{10}}{10!}=\frac{1}{10!}$$

    que por supuesto es lo mismo que ha dicho Lumarpin.

    Editado para arreglar el código $\LaTeX$. Aquí te dejo un enlace sobre cómo usar $\LaTeX$ en este foro: Uso de LaTeX en ForoGauss..

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