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Buenos días,
En primer lugar, gracias por este fantástico blog. Soy Ingeniero Superior Informático y estudiante de primero de matemáticas, la verdad que no se me dan especialmente bien pero me encanta hacer problemas y experimentar con los números.
Quería hacerle una consulta sobre espacios vectoriales, de momento estoy un poco perdido. Les planteo el siguiente problema :
Estudiar si el conjunto H={A€M(R)nxn | tr(A)=0}con la suma de matrices y el producto por un número real es un espacio vectorial sobre R.
Gracias de antemano.
Hola Miguel Vaquer. Bienvenido a ForoGauss :).
Piensa que al sumar dos matrices A y B nos queda una matriz, A+B, que cumple que su traza es la suma de las trazas de las dos primeras. Como de entrada partes de que las trazas de A y de B valen cero, entonces la traza de A+B, al ser suma de las trazas de las otras dos, también vale cero. Por tanto la suma de matrices de H también es un elemento de H.
Y con el producto por un número real la situación es parecida, ya que, dado k un número real, se tiene que
$$tr(k \cdot A)=k \cdot tr(A)$$
ya que en la matriz k·A todos los elementos de la diagonal principal quedan multiplicados por k. Por tanto, partiendo de que A pertenece a H tenemos que tr(A)=0, por lo que
$$tr(k \cdot A)=k \cdot tr(A)=k \cdot 0=0$$
y en consecuencia el producto de una matriz de H por un número real también es un elemento de H.
Esto prueba que H es un espacio vectorial sobre R.
Si te queda alguna duda vuelve a preguntar :).
Hola, muchísimas gracias por la respuesta.
Saludos.
Sin embargo para probar la misma condición anterior pero con el determinante de una matriz cuadrada, es decir :
Estudiar si el conjunto H={A€M(R)nxn | |A|=0}con la suma de matrices y el producto por un número real es un espacio vectorial sobre R.
Bastaría con buscar un contraejemplo con la suma de los determinantes de dos matrices cuadradas, ver que alguna de las dos no vale 0 y así demostrar que no es espacio vectorial sobre R?? O habría alguna forma más elegante de demostrarlo??
Gracias de nuevo.
Tomando dos matrices que tengan determinante igual a 0 y cuya suma sea una matriz con determinante distinto de 0 ya estaría demostración que ese conjunto no es un espacio vectorial con esas operaciones. Es sencillo encontrar un ejemplo así. Piénsalo, y si no se te ocurre ninguno vuelve a escribir 🙂
Desconozco la operación de suma de determinantes pero si fuera suma de matrices de determinante cero las matrices 2 x 2 A(1,0,0,0) y b(0,0,1,0) son de determiante 0 y c = A + B = (1,0,1,0) es de determinante 0
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