problema sobre límites

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Este debate contiene 1 respuesta, tiene 2 mensajes y lo actualizó  gaussianos hace 2 meses.

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  • #48566 Respuesta

    artreco

    Hola. ¿Podrían ayudarme con el siguiente problema?

    Si a, b, c y d son constantes tales que el límite cuando x tiende a cero de (ax^2 + sen bx + sen cx + sen dx)/(3x^2 + 5x^4 + 7x^6) es ocho, ¿cuál es el valor de a+b+c+d?

    Aplicando la regla de L’Hospital encuentro que a=24. Además, en el libro dan como respuesta que la suma requerida debe dar 24.

    Este valor de a lo encontré haciendo sustitución directa en la segunda aplicación de la regla de L’Hospital; acá pensé que no importaba qué valores tuvieran b, c y d ya que los límites de sus términos siempre dan cero. Pero al sustituir en la expresión original a por 24 y las otras por los valores que yo quiera el límite no da 8. Parece ser necesario que b+c+d=0, pero no alcanzo a ver por qué.

    Gracias por cualquier idea que me puedan dar.

    #48572 Respuesta

    gaussianos
    Jefe de claves

    Hola artreco,

    Al aplicar L’Hopital una vez y sustituir x por 0, te queda (b+c+d)/0. Si b+c+d no es cero, ese límite daría como resultado más o menos infinito. Como el límite da 8, debe ocurrir que b+c+d=0 para que nos vuelva a quedar una indeterminación, 0/0, y podamos volver a usar L’Hopital. En ese segundo paso es en el que puedes calcular el valor de a, que efectivamente es 24.

    En consecuencia, a+b+c+d=24.

    Espero haberte ayudado.

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