Inicio ForoGauss Matemáticas Dudas/Consultas Raíz "n" de 2 — [2^(1/n)]: IRRACIONAL?

  • Este debate tiene 4 respuestas, 1 mensaje y ha sido actualizado por última vez el hace 8 años, 6 meses por Jorge Diderot Chelen Franulic.
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  • #12808 Responder
    Jorge Diderot Chelen Franulic
    Invitado

    Estimados Gaussianos:
    Quien hace la siguiente consulta es un Geólogo y requiero tener una AMPLIA SEGURIDAD sobre la condición de 2^(1/n) por mi trabajo de investigación.Está DEMOSTRADO que 2^(1/n) es siempre IRRACIONAL? (para n>1), una pregunta para Matemáticos que no parece difícil. Con tanta historia como la que se puede leer en sus páginas, es muy probable que ya Uds. lo sepan.
    2^(1/1)=2
    2^(1/2)=1.41421356…-2^(2/2)=2
    2^(1/3)=1.25992105…-2^(2/3)=1.58740105…-2^(3/3)=2
    2^(1/4)=1.18920711…-2^(2/4)=1.41421356..- 2^(3/4)= 1.68179283…-2^(4/4)=2
    2^(1/5)=1.14869835…
    2^(1/n) = IRRACIONAL.

    Y deseo terminar FELICITÁNDOLOS por el enorme respeto con que Uds. se tratan, algo mus escaso en la web y otras páginas de Ciencia.
    Atte.
    Agradezco de antemano vuestra atención.
    Jorge Diderot Chelen Franulic.
    Geólogo

    #12809 Responder
    Sive
    Invitado

    Puedes tener la total, completa, y absoluta seguridad de que la raiz n de 2 (n entero y mayor que 2) es siempre irracional.

    No pides demostración, pero dado que es tan fácil…

    Lo más sencillo es enfocar el problema al revés. Suponer que tenemos un racional no entero p/q, elevarlo a n, y preguntarnos si es posible obtener un resultado entero. Dado que podemos suponer que la fracción p/q es irreducible, la respuesta es claramente que no.

    Así demostramos, de paso, que cualquier raiz n de x (x y n naturales) es siempre irracional o natural.

    #12811 Responder
    Jorge Diderot Chelen Franulic
    Invitado

    Estimado Sive:

    Agradezco tu pronta respuesta y, no estaría de más, abusando de tu cortesía solicitar ser un poco más explicito en la DEMOSTRACIÓN. La he visto par 2^(1/2) pero, cuando lo intenté con esta, me enredé solo. Lo cierto es que utilizando la raíz cuadrada de dos, [2^(1/2)] que es un IRRACIONAL por excelencia, se puede a través de ella [2^(1/2] calcular cualquier raíz y, si es así, entonces todas ellas (2^(1/n)) son Irracionales. O, por el otro, lado de cualquier raíz (2^(1/n)) se puede determinar 2^(1/2)):

    2^(1/2) = 2^[(1/n)*[2^[(n-2)/2n]]
    n = 5
    2^(1/n) = 1,414213562 FORMULA.
    2^(1/2) = 1,414213562 Raíz de «2».
    2^(1/n) = 1,148698355 Raíz de «n».
    k^(1/n) = 1,148698355 FORMULA.
    2^(1/n) = 2^[(1/2)-[(n-2)/2n]]

    Y se puede seguir: (k^(1/n)]. En ves de «2» se puede introducir cualquier número Natural, un número «x» como mencionas y, con ello, se obtienen enormes conjuntos ORDENADOS de números Irracionales, como los de Cantor. Si se pueden ordenar a cada uno de ellos se les puede asignar un Número Natural configurando un Cardinal en un conjunto ordenado de Irracionales, el mismo de los Naturales.
    Gracias por tu atención y espero que podamos seguir conversando.
    Saludos.

    #12812 Responder
    Jorge Diderot Chelen Franulic
    Invitado

    Estimado Sive:

    Esto me interesa y, aunque no quiero ser majadero, tu última frase contiene una contradicción…»irracional» o «natural». La reproduzco textualmente:

    «Así demostramos, de paso, que cualquier raiz n de x (x y n naturales) es siempre irracional o natural». Esto es [x^(1/n)], irracionales.
    Y con [x^(2/n)] pasa lo mismo?, otros irracionales.
    Gracias.

    Jorge.

    #12813 Responder
    Jorge Diderot Chelen Franulic
    Invitado

    Sive:

    Mis disculpas, ya te entendí. Quizás fue el apuro por leer tu respuesta… uno o lo otros.
    Gracias.

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Respuesta a: Raíz "n" de 2 — [2^(1/n)]: IRRACIONAL?
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