Yo no estoy metido en el tema, pero me suena que la relación entre la función Zeta de Riemann y la distribución de primos es más bien una cuestión asintótica. Es decir, se sabe que aproximadamente hay una proporción de $\frac{\ln{n}}{n}$ primos menores que $n$ y que esa aproximación funciona bien al irse $n$ a infinito. Creo que para llegar al resultado se usa la Zeta de Riemann, desconozco relaciones más profundas que pueda haber.