Inicio ForoGauss Matemáticas Dudas/Consultas Sistema de la IMO como se hace?

  • Este debate tiene 1 respuesta, 1 mensaje y ha sido actualizado por última vez el hace 5 años, 3 meses por Roger.
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  • #41136 Responder
    Roger
    Invitado

    Resolver (IMO 1971, longlist)
    x+y+z=3
    x^3+y^3+z^3=15
    x^5+y^5+z^5=83

    #41222 Responder
    Roger
    Invitado

    El trabajo fue largo. Elevando al cubo x+y+z=3 y usando la ec. x^3+y^3+z^3=15 y con reescritura llegue a 3(x^2+y^2+z^2)+2xyz=19 (**).

    Con la misma idea eleve x+y+z=3 a la quinta y usando las anteriores ecs. llegue a xyz=-1 (–), de donde reemplazando en (**) es: x^2+y^2+z^2=7 (++).

    Ahora x+y+z=3 al cuadrado es (x^2+y^2+z^2)+2(xy+xz+yz)=9, y usando la ec. (++) se obtiene: xy+xz+yz=1, factorizando es x(y+z)+yz=1, reemplazandole la primera ec. y+z=3-x y la ec. (–) yz=-1/x se obtiene: x(3-x)-1/x=1, o sea, x^3-3x^2+x+1=0 cuyas soluciones son x1=1, x2=1+sqrt(2), x3=1-sqrt(2).

    Considerando x=1 y reemplazando en la primera ec. y en la ec. (–) se obtienen: yz=-1 e y+z=2, de donde y=1+sqrt(2) y z=1-sqrt(2) o al revés.

    A causa de la simetría del sistema las soluciones son todas las permutaciones de 1, 1+sqrt(2) y 1-sqrt(2).

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